Fracciones — Suma, Resta, Multiplicación y División

Las fracciones sirven para expresar partes de un todo, cocientes y medidas exactas. Para sumar o restar fracciones, primero necesitas partes del mismo tamaño, es decir, un denominador común. Para multiplicar y dividir, en cambio, se aplican reglas distintas.

Una fracción se escribe como $\frac{a}{b}$, con $b \ne 0$. El numerador dice cuántas partes tomas y el denominador dice de qué tamaño es cada parte.

Qué significa una fracción

$\frac{3}{4}$ significa tres partes de tamaño $\frac{1}{4}$. $\frac{1}{2}$ y $\frac{1}{3}$ no son piezas del mismo tamaño, así que no se pueden sumar directamente como si fueran equivalentes.

Por eso

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{3} \ne \frac{2}{5}$$

Antes de sumar o restar, primero hay que expresar ambas fracciones con partes comparables.

Cómo sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones

Si $b \ne 0$ y $d \ne 0$, entonces:

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad - bc}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$$ $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}$$

La regla de la división solo vale si $\frac{c}{d} \ne 0$, es decir, si $c \ne 0$.

En suma y resta no siempre conviene usar $bd$ como denominador común. Muchas veces es mejor usar el mínimo común múltiplo, porque deja números más pequeños y simplifica la cuenta.

Intuición rápida para no confundir las reglas

En suma y resta, la pregunta clave es: "¿estas cantidades están medidas con la misma unidad?" Si no lo están, primero igualas denominadores.

En multiplicación, la idea suele ser "tomar una fracción de otra cantidad". Por eso se multiplican numeradores y denominadores.

En división, la idea es "cuántas veces cabe una fracción dentro de otra". Por eso aparece el recíproco de la segunda fracción.

Ejemplo resuelto con las cuatro operaciones

Usa las mismas dos fracciones en las cuatro operaciones:

$$\frac{2}{3} \quad \text{y} \quad \frac{5}{6}$$

Cómo sumar fracciones

Primero iguala denominadores:

$$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

Entonces

$$\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = \frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}$$

Cómo restar fracciones

Con el mismo denominador común:

$$\frac{2}{3} - \frac{5}{6} = \frac{4}{6} - \frac{5}{6} = -\frac{1}{6}$$

Cómo multiplicar fracciones

Aquí no hace falta denominador común:

$$\frac{2}{3} \cdot \frac{5}{6} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$$

Cómo dividir fracciones

Invierte solo la segunda fracción y multiplica:

$$\frac{2}{3} \div \frac{5}{6} = \frac{2}{3} \cdot \frac{6}{5} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$$

Este ejemplo deja ver la diferencia central. En suma y resta importa que las partes tengan el mismo tamaño. En multiplicación y división, esa condición no aparece.

Errores comunes al operar con fracciones

Sumar o restar numeradores y denominadores a la vez

Ese error cambia el tamaño de las partes sin justificación. En general,

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} \ne \frac{a+c}{b+d}$$

Invertir la fracción equivocada al dividir

En

$$\frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$$

solo se invierte la segunda:

$$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{2}$$

Cancelar a través de una suma o de una resta

Se pueden simplificar factores en una multiplicación, pero no términos separados por $+$ o $-$. Por ejemplo, no es válido "cancelar" el $2$ en

$$\frac{2+4}{2}$$

porque primero hay que resolver la suma del numerador.

Olvidar las condiciones de validez

Una fracción con denominador $0$ no está definida. Además, no se puede dividir entre una fracción que valga $0$.

Cuándo se usan las fracciones

Las fracciones aparecen cuando una cantidad se expresa como parte de un todo, como reparto, medida, razón o probabilidad. También aparecen en porcentajes, escalas, recetas, velocidades medias y álgebra básica.

Si el problema requiere una relación exacta, una fracción suele ser más útil que un decimal aproximado.

Prueba tu propia versión

Resuelve estas cuatro operaciones con $\frac{3}{4}$ y $\frac{2}{5}$:

$$\frac{3}{4} + \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} - \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}, \qquad \frac{3}{4} \div \frac{2}{5}$$

Si quieres ir un paso más allá, prueba otro par de fracciones y comprueba en qué operaciones necesitas un denominador común y en cuáles no. Si te ayuda ver el procedimiento completo, puedes revisar tu propio caso paso a paso en el solver.