Satz des Pythagoras — Formel, Beweis & Beispiele

Der Satz des Pythagoras gilt nur fuer rechtwinklige Dreiecke. Wenn $a$ und $b$ die Katheten und $c$ die Hypotenuse sind, dann gilt

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Damit kannst du aus zwei bekannten Seiten die dritte berechnen. Die entscheidende Bedingung ist immer dieselbe: Es muss wirklich ein rechter Winkel vorliegen.

Was die Formel beim rechtwinkligen Dreieck aussagt

Die beiden Katheten bilden den rechten Winkel. Die Hypotenuse liegt diesem Winkel gegenueber und ist die laengste Seite.

Der Satz beschreibt eine sehr konkrete Beziehung: Die Summe der Flaechen der Quadrate ueber den Katheten ist genauso gross wie die Flaeche des Quadrats ueber der Hypotenuse.

Genau deshalb ist $c$ so wichtig. Wenn du die falsche Seite als Hypotenuse einsetzt, kann die Rechnung formal sauber aussehen und trotzdem inhaltlich falsch sein.

Wann man den Satz des Pythagoras benutzt

Du benutzt ihn, wenn in einer Aufgabe ein rechter Winkel vorkommt und eine Seitenlaenge fehlt. Typische Faelle sind Dreiecke, Rechteckdiagonalen, Abstaende im Koordinatensystem oder einfache Hoehen- und Wegprobleme.

Bei einem Rechteck mit Seiten $3$ und $4$ ist die Diagonale zum Beispiel

$$\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$

Das ist derselbe Gedanke, nur in einer anderen Figur.

Ein kurzer Beweis mit Flaechen

Eine klassische Beweisidee arbeitet mit Flaechen. Stell dir ein grosses Quadrat mit Seitenlaenge $a+b$ vor. Darin liegen vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Katheten $a$ und $b$. In der Mitte bleibt ein kleines Quadrat mit Seitenlaenge $c$ uebrig.

Die Flaeche des grossen Quadrats ist einerseits

$$(a+b)^2$$

Andererseits besteht dieselbe Flaeche aus vier Dreiecken und dem mittleren Quadrat:

$$4 \cdot \frac{ab}{2} + c^2 = 2ab + c^2$$

Beide Ausdruecke beschreiben dieselbe Flaeche. Also gilt

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Ausmultiplizieren liefert

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

Nach dem Kuerzen von $2ab$ bleibt

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Damit ist die Beziehung gezeigt.

Beispiel: Die Hypotenuse berechnen

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit $a = 6$ cm und $b = 8$ cm. Gesucht ist die Hypotenuse $c$.

Wir setzen in die Formel ein:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$

Jetzt ziehen wir die positive Quadratwurzel, weil eine Laenge nicht negativ sein kann:

$$c = \sqrt{100} = 10$$

Die gesuchte Hypotenuse ist also $10$ cm. Das Ergebnis passt auch inhaltlich, weil die Hypotenuse laenger sein muss als beide Katheten.

Typische Fehler beim Satz des Pythagoras

Den rechten Winkel nur vermuten

Ohne rechten Winkel ist der Satz des Pythagoras nicht direkt anwendbar. Diese Bedingung ist kein Detail, sondern der ganze Ausgangspunkt.

Die Hypotenuse falsch markieren

Die Hypotenuse ist immer die Seite gegenueber dem rechten Winkel. Sie ist nicht einfach nur irgendeine unbekannte Seite.

Zu frueh die Wurzel ziehen

Oft steht zuerst $c^2 = 100$. Gesucht ist aber $c$, also musst du noch die Quadratwurzel ziehen. Sonst bleibt die Einheit auch inhaltlich falsch.

Beim Umstellen das Vorzeichen verwechseln

Wenn die Hypotenuse gesucht ist, addierst du die Quadrate der Katheten. Wenn eine Kathete gesucht ist, stellst du um. Dann gilt zum Beispiel nur unter der Bedingung, dass $c$ die Hypotenuse ist:

$$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$

Wann der Satz nicht ausreicht

Sobald kein rechter Winkel vorliegt, brauchst du eine andere Beziehung, zum Beispiel den Kosinussatz. Auch bei Textaufgaben lohnt sich deshalb erst die Skizze und dann die Rechnung.

Das solltest du dir merken

Pruefe zuerst den rechten Winkel. Markiere dann die Hypotenuse. Setze erst danach die Seiten in die Formel ein.

Wenn diese drei Punkte klar sind, wird aus $a^2 + b^2 = c^2$ kein Merksatz, sondern ein zuverlaessiger Rechenweg.

Naechster Schritt

Versuche jetzt eine eigene Variante: Nimm ein rechtwinkliges Dreieck mit zwei bekannten Seiten und berechne die dritte ohne auf die Loesung zu schauen. Wenn du danach einen aehnlichen Fall Schritt fuer Schritt pruefen willst, nutze einfach eigene Zahlen und kontrolliere am Ende, ob die Hypotenuse wirklich die laengste Seite ist.