排列组合公式

排列和组合的区别可以先用一句话记住：排列看顺序，组合不看顺序。 对 $n$ 个互不相同的对象，在不重复选取且选出 $r$ 个时：

$$P(n,r)=\frac{n!}{(n-r)!}$$ $$C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

如果你刷题时总在这两个公式之间犹豫，先别急着代数，先问自己一句：交换顺序以后，题目的结果会不会变？

排列和组合怎么快速区分

排列关心“谁在第几个位置上”。比如冠军和亚军对调，结果就变了，所以这是排列。

组合只关心“选中了哪些对象”。如果只是从几个人里选出一个小组，成员前后不分次序，这就是组合。

在对象互不相同且不重复选取时，还有一个很好用的关系：

$$P(n,r)=C(n,r)\,r!$$

它的意思是：先选出一组对象，再把这组对象排顺序，就得到对应的排列数。这里的 $r!$ 只在这组条件成立时才成立，不是任何计数题都能直接用。

公式什么时候能直接套

上面两个公式有三个前提：

1. 对象互不相同。
2. 不允许重复选取。
3. 选出的个数满足 $0 \le r \le n$。

只要有一个条件变了，题型就可能跟着变。比如密码允许重复字符，或者题目里本来就有重复字母，这时就不能直接套这两个基础公式。

一个例子同时看懂排列和组合

有 $5$ 本不同的书，从中选出 $2$ 本。

如果题目是“选出 $2$ 本书带走”，只关心选了哪两本，不关心先后顺序，所以用组合：

$$C(5,2)=\frac{5!}{2!3!}=10$$

如果题目改成“从 $5$ 本书里选出冠军和亚军各一本”，位置不同，结果就不同，所以用排列：

$$P(5,2)=\frac{5!}{3!}=5 \times 4=20$$

为什么会差一倍？因为每一组被选中的两本书，都能排成两种顺序。比如书 A 和书 B 被选中时，A 在前、B 在后是一种结果，B 在前、A 在后又是另一种结果。

为什么组合公式要多除一个 $r!$

排列的思路是按位置填空。第一个位置有 $n$ 种选法，第二个位置有 $n-1$ 种，一直到第 $r$ 个位置，总数就是

$$n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)=\frac{n!}{(n-r)!}$$

组合只想知道“选了谁”，不想区分这 $r$ 个对象内部的排法。但在排列里，同一组对象会被重复算 $r!$ 次，所以要再除以 $r!$：

$$C(n,r)=\frac{P(n,r)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}$$

如果你理解了这一步，公式就不再只是硬背的结论，而是“先排列，再把重复顺序合并”的结果。

最容易错的地方

看到“选”字就直接用组合

很多题目虽然写的是“选”，但实际上带有职位、名次或座位，这些都说明顺序会影响结果。比如“选班长和副班长”是排列，不是组合。

没检查能不能重复

如果同一个对象可以被反复选到，这页的两个基础公式通常不能直接用。顺序和重复这两个条件，最好在动笔前就确认。

把重复元素当成全都不同

像重复字母、重复球号这类题目，计数会和“全都不同”不一样。直接套基础排列组合公式，结果往往会偏大。

阶乘化简太急

像 $\frac{5!}{3!}$ 这种式子，不必把两个阶乘都完全展开。直接约掉公共部分，写成 $5 \times 4$ 更稳，也更不容易算错。

排列组合一般用在哪些题

学校里常见的题型包括名次安排、座位安排、从多人中选代表、从若干题里选做几题，以及概率题里的样本空间计数。

如果题目本质上是在问“总共有多少种可能”，而且规则说得很清楚，排列组合往往就是最直接的工具。

做题前先用这句判断

把原题改写成一句更直白的话：

• 这是在问“哪些对象被选中”？
• 还是在问“这些对象分别处在哪些位置”？

第一种通常对应组合，第二种通常对应排列。先把这一步想清楚，后面的公式选择通常就不会乱。

试着做一题

从 $7$ 个人里选出 $3$ 个人参加会议，这是组合还是排列？如果改成从这 $7$ 个人里选出主席、副主席和秘书，又该用哪个公式？

把这两问连着做一遍，你会更快建立“顺序是否重要”这个核心判断。