Türev — Kurallar, Formüller ve Çözümlü Örnekler

Türev, bir fonksiyonun bir noktadaki anlık değişim hızıdır. En çok eğim, anlık hız ve maksimum-minimum sorularında karşınıza çıkar. Pratikte asıl iş, her soruda limite dönmek değil, ifadenin yapısını görüp doğru kuralı seçmektir.

Bir noktada türev varsa, tanım şu limit ile verilir:

$$f'(a)=\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

Bu limit varsa, $f'(a)$ hem anlık değişim hızını hem de teğet doğrusunun eğimini verir.

Türev neyi gösterir?

Eğer $s(t)$ konumu gösteriyorsa, $s'(t)$ anlık hızı verir. Eğer $y=f(x)$ bir grafikse, $f'(x)$ o noktadaki eğimi verir. Yani türev, "şu anda ne kadar hızlı değişiyor?" sorusunun matematikteki kısa cevabıdır.

Örneğin $f(x)=x^2$ için $f'(x)=2x$ olur. Bu yüzden $x=3$ noktasındaki eğim $6$, $x=1$ noktasındaki eğim ise $2$'dir. Fonksiyon aynı kalsa da değişim hızı noktaya göre değişebilir.

En çok kullanılan türev kuralları

Sabit ve kuvvet kuralı

$$\frac{d}{dx}(c)=0$$ $$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$

Kuvvet kuralı polinomların temel aracıdır. Örneğin $\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4$.

Toplam ve sabit kat kuralı

$$\frac{d}{dx}\left(af(x)+bg(x)\right)=af'(x)+bg'(x)$$

Bu kural, uygun ifadelerde terim terim türev almamızı sağlar.

Çarpım kuralı

İki türevlenebilir fonksiyonun çarpımı için:

$$\frac{d}{dx}\left(f(x)g(x)\right)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

Burada dikkat noktası şudur: genel olarak $(fg)'=f'g'$ yazılmaz.

Bölüm kuralı

Eğer $g(x) \ne 0$ ise:

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

En sık hata, paydaki eksi işaretini karıştırmaktır.

Zincir kuralı

Bir fonksiyon başka bir fonksiyonun içindeyse, dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevi birlikte gelir. Dış ve iç fonksiyon türevlenebilir olduğunda:

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Bu kural özellikle üs, kök ve trigonometrik ifadelerde sık kullanılır.

Temel türev formülleri

Sık kullanılan bazı standart sonuçlar şunlardır:

$$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$ $$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x} \quad \text{, } x>0$$ $$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$

Bu sonuçlar genelde başka kurallarla birlikte kullanılır. Ezberden önce, hangi yapıda hangi formülün devreye girdiğini görmek daha önemlidir.

Çözümlü türev örneği

Şu fonksiyonun türevini alalım:

$$f(x)=(x^2+1)^3$$

Bu ifade ilk bakışta sadece kuvvet kuralı gibi görünebilir. Ama aslında bileşik fonksiyondur: dış fonksiyon $u^3$, iç fonksiyon ise $u=x^2+1$ biçimindedir. Bu yüzden zincir kuralı gerekir.

Önce dış kısmın türevini alalım:

$$\frac{d}{dx}(u^3)=3u^2$$

Sonra $u=x^2+1$ yerine yazalım:

$$3(x^2+1)^2$$

Şimdi iç fonksiyonun türevini ekleyelim:

$$\frac{d}{dx}(x^2+1)=2x$$

Bu iki adımı çarpınca:

$$f'(x)=3(x^2+1)^2 \cdot 2x=6x(x^2+1)^2$$

Kritik nokta şudur: sadece üssü öne çekmek yetmez. İçerideki $x^2+1$ ifadesinin türevi olan $2x$ de mutlaka gelmelidir.

Türev sorularında sık yapılan hatalar

İç fonksiyonun türevini unutmak

$(x^2+1)^3$ ifadesinin türevini sadece $3(x^2+1)^2$ yazmak eksiktir. Zincir kuralında iç fonksiyonun türevi de gelmelidir.

Çarpım kuralını yanlış sadeleştirmek

$\frac{d}{dx}(fg)$, genel olarak $f'g'$ değildir. Doğru ifade $f'g+fg'$ şeklindedir.

Bölüm kuralında işareti karıştırmak

Pay kısmı $f'g-fg'$ biçimindedir. Özellikle eksi işaretinin yeri sık karışır.

Her ifadeye aynı kuralı uygulamaya çalışmak

Bir polinomda kuvvet kuralı yeterli olabilir, ama bileşik bir yapıda zincir kuralı gerekir. Önce yapıyı görmek, sonra kural seçmek daha güvenlidir.

Türev nerede kullanılır?

Türev; fizikte hız ve ivmede, ekonomide marjinal değişimde, optimizasyonda maksimum ve minimum bulmada, mühendislikte değişim analizi yaparken kullanılır. Bir büyüklüğün anlık olarak nasıl değiştiği önemliyse, genellikle türev de devrededir.

Maksimum ve minimum problemlerinde türev çok güçlüdür, ama tek başına her zaman yeterli değildir. Kritik noktayı bulduktan sonra, o noktanın gerçekten maksimum mu minimum mu olduğunu ayrıca kontrol etmek gerekir.

Kısa özet

Türev, anlık değişim hızıdır. Tanımı limit ile kurulur; uygulamada ise işin çoğu doğru kuralı seçmeye dayanır. Kuvvet, toplam, çarpım, bölüm ve zincir kuralını ayırt edebildiğinizde çoğu temel türev sorusu çözülebilir.

Benzer bir soruyu sen çöz

$g(x)=(2x-1)^4$ için türevi siz bulun. Önce dış fonksiyonu, sonra iç fonksiyonu ayırın. Son cevaba geçmeden önce kendinize şu soruyu sorun: "İç fonksiyonun türevini de çarptım mı?"