Teste t — Tipos, Fórmula e Quando Usar

Um teste t ajuda você a decidir se a média de uma amostra, ou a diferença entre duas médias amostrais, é maior do que seria esperado apenas pela variação aleatória. Ele é usado quando o resultado é numérico e o desvio padrão da população é desconhecido, que é o caso mais comum no mundo real.

A condição principal é que o teste precisa corresponder ao desenho dos dados. O teste t é para questões sobre médias, não para contagens categóricas, e amostras muito pequenas exigem cuidado se houver forte assimetria ou outliers evidentes.

O que um teste t mede

A ideia básica é sempre a mesma:

$$t = \frac{\text{observed difference}}{\text{estimated standard error}}$$

A estatística fica maior quando a diferença entre médias é grande, e menor quando os dados são ruidosos ou a amostra é pequena.

Sob a hipótese nula, e se as condições forem razoáveis, essa estatística segue uma distribuição $t$ em vez de uma distribuição normal $z$. A distribuição $t$ tem caudas mais pesadas, especialmente em amostras pequenas, então ela é mais cautelosa ao declarar um resultado significativo.

Qual tipo de teste t você deve usar

Teste t de uma amostra

Use este quando você tem uma amostra e quer comparar sua média com um valor de referência $\mu_0$.

$$t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}}$$

Exemplo: comparar o peso médio de embalagens em uma amostra com uma meta de $100$ gramas.

Teste t de duas amostras

Use este quando você quer comparar as médias de dois grupos independentes, como duas turmas ensinadas com métodos diferentes.

Se você não tiver um motivo forte para supor variâncias populacionais iguais, o teste t de Welch costuma ser a opção padrão mais segura:

$$t = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}}$$

Os graus de liberdade no teste de Welch não são simplesmente $n_1 + n_2 - 2$, então normalmente um software faz essa parte para você.

Teste t pareado

Use este para dados de antes e depois ou para pares correspondentes. O teste não é feito nas duas colunas brutas separadamente. Ele é feito sobre as diferenças entre os pares.

$$t = \frac{\bar{d} - \mu_{d,0}}{s_d / \sqrt{n}}$$

Em muitos problemas pareados, o valor nulo é $\mu_{d,0} = 0$, o que significa que a mudança média é zero.

Quando um teste t é apropriado

Um teste t é uma boa escolha quando tudo isso é razoavelmente verdadeiro:

1. A variável de resultado é numérica.
2. As observações são independentes dentro do desenho escolhido, a menos que você esteja usando intencionalmente uma configuração pareada.
3. A questão é sobre uma média ou uma diferença entre médias.
4. A amostra não é tão pequena nem tão distorcida por outliers ou forte assimetria a ponto de a média e o desvio padrão se tornarem enganosos.

Se o desvio padrão da população fosse conhecido exatamente, um teste $z$ de livro-texto seria a alternativa direta. Na prática, os testes t são comuns porque $\sigma$ geralmente é desconhecido.

Exemplo resolvido: um teste t de uma amostra

Suponha que um processo de embalagem deva ter média de $100$ gramas. Você tira uma amostra aleatória de $25$ embalagens e encontra

$$\bar{x} = 102, \quad s = 4$$

Você quer saber se a média verdadeira difere de $100$ gramas.

Como esta é uma amostra comparada com um valor de referência, o teste correto é um teste t de uma amostra.

Comece com as hipóteses:

$$H_0: \mu = 100$$ $$H_1: \mu \ne 100$$

O erro padrão é

$$\frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{4}{\sqrt{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$$

Agora calcule a estatística de teste:

$$t = \frac{102 - 100}{0.8} = 2.5$$

Os graus de liberdade são

$$df = n - 1 = 24$$

Para um teste bilateral com $df = 24$, um valor de $t = 2.5$ produz um valor-p abaixo de $0.05$. Isso significa que o resultado é estatisticamente significativo ao nível de $5\%$, então você rejeita $H_0$.

No contexto, a amostra fornece evidência de que a média do processo é diferente de $100$ gramas. Essa conclusão depende de a amostra ser razoavelmente independente e não estar muito distorcida por outliers.

Erros comuns com testes t

Um erro comum é escolher a versão errada do teste. Se as mesmas pessoas, máquinas ou unidades forem medidas duas vezes, os dados são pareados, então um teste t de duas amostras independentes não é apropriado.

Outro erro é interpretar "não estatisticamente significativo" como "não há diferença". Em geral, isso significa que a amostra não forneceu evidência forte o suficiente contra a hipótese nula.

Um terceiro erro é pular a verificação dos dados. Com uma amostra minúscula e um outlier extremo, a fórmula ainda produz um número, mas a conclusão pode não ser confiável.

Onde os testes t são usados

Os testes t são comuns em experimentos, controle de qualidade, medicina, psicologia, educação e comparações no estilo A/B quando o resultado é numérico. Eles são uma das portas de entrada padrão para a inferência estatística porque conectam médias, variabilidade, incerteza e tomada de decisão em um único método.

Tente um problema parecido

Altere o exemplo para que a média amostral seja $101$ em vez de $102$, mantendo $n = 25$ e $s = 4$. Recalcule a estatística t e decida se a evidência ainda é forte o suficiente ao nível de $5\%$. Esse é um bom próximo passo se você quiser ver como a conclusão muda à medida que a média amostral se aproxima do valor nulo.