Twierdzenie Pitagorasa — Wzór, Dowód i Przykłady

Twierdzenie Pitagorasa to podstawowy wzór dla trójkąta prostokątnego. Pozwala szybko obliczyć brakujący bok, jeśli znasz dwa pozostałe. Jeśli przyprostokątne mają długości $a$ i $b$, a przeciwprostokątna ma długość $c$, to:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Najważniejszy warunek jest prosty: ten wzór działa tylko w trójkącie prostokątnym. Przeciwprostokątna leży naprzeciw kąta prostego i zawsze jest najdłuższym bokiem.

Co naprawdę oznacza wzór $a^2 + b^2 = c^2$

Najłatwiej zrozumieć to przez pola kwadratów. Na każdym boku trójkąta prostokątnego można zbudować kwadrat. Twierdzenie mówi wtedy, że pole kwadratu na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów na obu przyprostokątnych.

Dlatego we wzorze pojawiają się kwadraty długości, a nie same długości. To nie jest zależność $a+b=c$, tylko porównanie pól: $a^2$, $b^2$ i $c^2$.

Krótki dowód przez pola

Jeden z klasycznych dowodów używa dużego kwadratu o boku $a+b$. W jego wnętrzu układamy cztery jednakowe trójkąty prostokątne tak, aby w środku powstał mniejszy kwadrat o boku $c$.

Pole dużego kwadratu wynosi:

$$(a+b)^2$$

Pole czterech trójkątów razem wynosi:

$$4 \cdot \frac{1}{2}ab = 2ab$$

Pole środkowego kwadratu wynosi:

$$c^2$$

Cały duży kwadrat składa się właśnie z tych czterech trójkątów i środkowego kwadratu, więc:

$$(a+b)^2 = 2ab + c^2$$

Po rozwinięciu lewej strony dostajemy:

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

Po skróceniu $2ab$ po obu stronach zostaje:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

Przykład: jak obliczyć przeciwprostokątną krok po kroku

Załóżmy, że trójkąt prostokątny ma przyprostokątne długości $6$ i $8$. Szukamy przeciwprostokątnej $c$.

Podstawiamy dane do wzoru:

$$6^2 + 8^2 = c^2$$ $$36 + 64 = c^2$$ $$100 = c^2$$

Teraz trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek:

$$c = 10$$

Odpowiedź ma sens, bo przeciwprostokątna powinna być dłuższa od każdej przyprostokątnej. To dobry szybki test, czy nie było błędu w rachunkach.

Najczęstsze błędy przy twierdzeniu Pitagorasa

Najczęstszy błąd to użycie twierdzenia Pitagorasa w trójkącie, który nie ma kąta prostego. Sam fakt, że zadanie jest o trójkącie, jeszcze nie wystarcza.

Drugi błąd to złe oznaczenie boku $c$. We wzorze $c$ musi oznaczać przeciwprostokątną, czyli bok naprzeciw kąta $90^\circ$.

Często pojawia się też błąd rachunkowy na końcu. Jeśli wychodzi $c^2 = 100$, to długość boku wynosi $c = 10$, a nie $100$.

Warto też nie mylić zapisu $a^2 + b^2 = c^2$ z $(a+b)^2 = c^2$. To nie są równoważne wyrażenia.

Kiedy używa się twierdzenia Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa przydaje się wtedy, gdy dwie długości spotykają się pod kątem prostym i chcesz obliczyć trzeci bok. Typowe sytuacje to przekątna prostokąta, odległość na układzie współrzędnych albo zadania geometryczne z wysokością.

Działa też w drugą stronę jako test. Jeśli dla najdłuższego boku $c$ zachodzi $a^2 + b^2 = c^2$, to taki trójkąt jest prostokątny.

Spróbuj podobnego zadania

Policz teraz brakujący bok w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych $5$ i $12$. Jeśli wyjdzie Ci $13$, poprawnie rozpoznajesz przeciwprostokątną i dobrze kończysz obliczenie.

Jeśli chcesz przejść dalej, zobacz podobny pomysł w zadaniach ze wzorem na odległość, gdzie ta sama zależność działa na płaszczyźnie współrzędnych.