Równanie Kwadratowe — Wzory i Rozwiązywanie

Równanie kwadratowe ma postać

$$ax^2 + bx + c = 0$$

gdzie $a \ne 0$. Żeby je rozwiązać, najpierw odczytujesz współczynniki $a$, $b$ i $c$, potem liczysz deltę, a na końcu podstawiasz wynik do wzoru na pierwiastki.

W szkolnych zadaniach najczęściej używa się delty:

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Jej znak od razu mówi, ile rozwiązań masz w zbiorze liczb rzeczywistych.

$$\Delta > 0 \Rightarrow \text{dwa różne rozwiązania rzeczywiste}$$ $$\Delta = 0 \Rightarrow \text{jedno rozwiązanie rzeczywiste podwójne}$$ $$\Delta < 0 \Rightarrow \text{brak rozwiązań rzeczywistych}$$

Co to jest równanie kwadratowe

To równanie, w którym najwyższa potęga niewiadomej to $2$. Dlatego pojawia się składnik $x^2$, a wykres odpowiadającej mu funkcji jest parabolą.

Warunek $a \ne 0$ jest ważny. Gdyby $a = 0$, wtedy wyraz $ax^2$ znika i równanie przestaje być kwadratowe.

Jak rozwiązać równanie kwadratowe przez deltę

Najpierw przepisz równanie do postaci ogólnej $ax^2 + bx + c = 0$. Ten krok jest konieczny, bo znaki przy $b$ i $c$ biorą się właśnie z tej postaci.

Po obliczeniu delty korzystasz ze wzorów na pierwiastki. Jeśli $\Delta > 0$, to:

$$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$

Jeśli $\Delta = 0$, oba pierwiastki zlewają się w jeden:

$$x_0 = \frac{-b}{2a}$$

Jeśli liczysz tylko w liczbach rzeczywistych i $\Delta < 0$, kończysz na informacji, że równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych. Dopiero przy liczbach zespolonych szuka się wtedy dalszych odpowiedzi.

Po co w ogóle liczy się deltę

Delta nie jest celem samym w sobie. To szybki test, który pokazuje, czy masz szukać dwóch odpowiedzi, jednej odpowiedzi, czy żadnej w liczbach rzeczywistych.

Pomaga też wychwycić błąd. Jeśli wyszło Ci $\Delta < 0$, a na końcu zapisujesz dwa zwykłe liczby rzeczywiste, to prawie na pewno gdzieś zgubił się znak albo źle odczytałeś współczynniki.

Przykład: jak rozwiązać $2x^2 + x - 3 = 0$

Najpierw odczytaj współczynniki:

$$a = 2, \qquad b = 1, \qquad c = -3$$

Teraz liczysz deltę:

$$\Delta = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Ponieważ $\Delta > 0$, równanie ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste.

Podstawiamy do wzoru:

$$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 5}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 5}{4} = \frac{4}{4} = 1$$

Odpowiedź:

$$x_1 = -\frac{3}{2}, \qquad x_2 = 1$$

Warto zrobić szybkie sprawdzenie. Dla $x = 1$ dostajesz:

$$2 \cdot 1^2 + 1 - 3 = 0$$

więc rozwiązanie pasuje. Dla $x = -\frac{3}{2}$ też otrzymasz $0$, więc oba pierwiastki są poprawne.

Najczęstsze błędy przy równaniu kwadratowym

Najczęstszy błąd to złe przepisanie równania do postaci ogólnej. Jeśli po jednej stronie nie masz zera, bardzo łatwo pomylić znaki przy $b$ albo $c$.

Drugi błąd to nieuważne liczenie delty. W wyrażeniu $-4ac$ znak ma ogromne znaczenie, więc gdy $c$ jest ujemne, iloczyn może zmienić minus na plus.

Często gubi się też mianownik $2a$. Cały licznik $-b \pm \sqrt{\Delta}$ trzeba podzielić przez $2a$, a nie tylko sam pierwiastek.

Kiedy używa się równań kwadratowych

Równania kwadratowe pojawiają się w algebrze, przy badaniu miejsc zerowych funkcji kwadratowej, w zadaniach optymalizacyjnych i w prostych modelach ruchu. W praktyce szkolnej najczęściej spotkasz je wtedy, gdy trzeba znaleźć niewiadomą z wyrażenia zawierającego $x^2$.

Nie każde takie zadanie trzeba liczyć deltą. Jeśli równanie łatwo rozkłada się na czynniki, ta metoda bywa szybsza. Gdy postać jest mniej wygodna, delta daje pewny, uporządkowany sposób działania.

Spróbuj podobnego zadania

Rozwiąż teraz równanie $x^2 - 7x + 12 = 0$. Najpierw policz deltę, a potem sprawdź, czy to samo zadanie da się rozwiązać szybciej przez rozkład na czynniki.

Jeśli chcesz przećwiczyć podobny typ rozumowania, zajrzyj też do karty wzorów albo sprawdź, które zależności warto mieć pod ręką we wzorach maturalnych.