트러스 해석 — 절점법

절점법에 의한 트러스 해석은 한 번에 하나의 절점에서 힘의 평형을 맞추어 각 트러스 부재의 힘을 구하는 방법입니다. 표준 정역학 모델에서는 트러스가 평면 구조이고, 부재는 핀으로 연결된 2력 부재이며, 외력은 절점에만 작용합니다. 이러한 조건에서는 각 절점이 다음을 만족해야 합니다.

$$\sum F_x = 0, \qquad \sum F_y = 0$$

이것이 핵심 아이디어입니다. 전체 구조를 한꺼번에 푸는 대신, 구조를 작은 평형 문제들로 나누어 절점별로 차례대로 풉니다.

절점법으로 알 수 있는 것

각 트러스 부재는 자기 길이 방향으로만 힘을 전달합니다. 이 이상화된 모델에서는 부재가 보나 강체 프레임처럼 절점에서 휨에 저항하지 않습니다.

그래서 해석 절차는 짧게 정리할 수 있습니다.

1. 전체 트러스의 평형으로부터 지점 반력을 구합니다.
2. 미지의 부재력이 최대 두 개인 절점을 고릅니다.
3. 경사진 부재의 힘을 성분으로 분해하고 $\sum F_x = 0$ 및 $\sum F_y = 0$을 적용합니다.
4. 다음으로 풀 수 있는 절점으로 이동합니다.

많은 학생이 처음에는 각 미지의 부재력을 모두 인장이라고 가정합니다. 그렇게 해도 괜찮습니다. 계산한 힘이 음수로 나오면, 그 부재는 실제로 압축 상태입니다.

절점법이 적용되는 경우

가정이 중요합니다. 절점법은 절점이 핀으로 모델링되고, 하중과 반력이 절점에 작용하며, 트러스가 정적 평형 상태에 있을 때 적용됩니다.

어떤 부재에 길이 방향을 따라 분포하중이 작용하거나, 구조가 강체 프레임처럼 거동한다면, 이 방법만으로는 올바른 모델이 아닙니다.

예제: 단순 삼각형 트러스

절점 $A$와 $C$에 지점이 있고, 위쪽 절점이 $B$인 대칭 삼각형 트러스를 생각해 봅시다. 그리고 $B$에 아래 방향 하중 $10\ \mathrm{kN}$이 작용한다고 합시다. $A$는 핀 지지, $C$는 롤러 지지이며, 부재 $AB$와 $BC$는 각각 수평 하부 부재 $AC$와 $45^\circ$의 각을 이룹니다.

하중이 중앙에 있으므로, 대칭성에 의해 지점 반력은

$$A_y = 5\ \mathrm{kN}, \qquad C_y = 5\ \mathrm{kN}$$

이고, $A_x = 0$입니다.

이제 절점 $B$에서 시작합니다. 여기서는 미지의 부재력이 두 개뿐이고, 대칭성에 의해 그 크기는 같습니다. 그 크기를 $F$라고 하겠습니다.

절점 $B$에서 두 경사 부재의 수직 성분은 아래 방향 하중 $10\ \mathrm{kN}$과 평형을 이루어야 합니다.

$$2F \sin 45^\circ = 10$$

따라서

$$F = \frac{10}{2 \sin 45^\circ} = \frac{10}{2(0.707)} \approx 7.07\ \mathrm{kN}$$

방향이 중요합니다. 절점 $B$를 떠받치려면 경사 부재들이 절점을 밀어야 하므로, $AB$와 $BC$는 각각 크기 $7.07\ \mathrm{kN}$의 압축 상태입니다.

다음으로 절점 $A$로 이동합니다. $AB$의 압축력은 수평 성분을 가지며, 그 크기는

$$7.07 \cos 45^\circ = 5\ \mathrm{kN}$$

입니다.

절점 $A$에서는 이 수평 성분이 부재 $AC$에 의해 평형을 이루어야 하므로,

$$F_{AC} = 5\ \mathrm{kN}$$

입니다.

$AC$는 절점을 당기므로 인장 상태입니다.

따라서 부재력은 다음과 같습니다.

$$F_{AB} = F_{BC} = 7.07\ \mathrm{kN}\ \text{(compression)}, \qquad F_{AC} = 5\ \mathrm{kN}\ \text{(tension)}$$

이 예제는 절점법의 전체 흐름을 잘 보여 줍니다. 지점 반력을 구하고, 풀 수 있는 절점을 선택하고, 두 개의 평형 방정식을 세운 뒤, 답의 부호나 방향으로 인장인지 압축인지 판단합니다.

트러스 해석에서 흔한 실수

가장 흔한 실수는 미지수가 너무 많은 절점에서 시작하는 것입니다. 평면 트러스에서는 각 절점마다 독립적인 평형 방정식이 두 개뿐이므로, 미지의 부재력이 세 개인 절점은 보통 처음에 풀 수 없습니다.

또 다른 흔한 실수는 지점 반력을 건너뛰는 것입니다. 반력이 틀리면, 그다음에 구하는 모든 부재력도 틀리게 됩니다.

학생들은 음수 해석도 자주 잘못합니다. 일관된 부호 규약을 사용했다면, 음수의 힘은 보통 처음에 가정한 상태와 반대라는 뜻입니다.

마지막 큰 실수는 트러스로 모델링되지 않는 구조에 절점법을 적용하는 것입니다. 보와 강체 프레임은 휨모멘트를 전달할 수 있으므로, 다른 해석 방법이 필요합니다.

절점법은 어디에 쓰일까

절점법은 하중이 구조를 통해 어떻게 전달되는지 가르쳐 주기 때문에 정역학 수업에서 자주 등장합니다. 또한 단순한 지붕 트러스, 교량, 그 밖의 핀 연결 구조를 손으로 검토할 때도 유용합니다.

더 복잡한 공학 문제에서는 보통 소프트웨어가 전체 구조를 해석합니다. 그래도 이 방법은 여전히 중요합니다. 하중 경로와 부재력의 부호에 대한 직관을 길러 주기 때문입니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 트러스 형상을 유지한 채, 위쪽 하중을 $10\ \mathrm{kN}$에서 $14\ \mathrm{kN}$으로 바꿔 보세요. 형상은 그대로이고 모델도 여전히 선형 정역학이므로, 각 부재력은 같은 비율로 함께 커집니다.

한 단계 더 나아가고 싶다면, 대칭이 아닌 트러스를 하나 정하고 지점 반력을 구한 뒤 어떤 절점부터 먼저 풀 수 있는지 판단해 보세요.