Z 변환

Z 변환은 $x[0], x[1], x[2], \dots$ 같은 이산시간 수열을 복소변수 $z$의 함수로 다시 표현하는 방법입니다. 중요한 이유는 시프트와 단계별 점화식이 대수식으로 바뀌어, 보통 더 쉽게 해석할 수 있기 때문입니다.

양방향 수열 $x[n]$에 대해 bilateral Z-transform은 다음과 같습니다.

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

이 급수가 수렴할 때 정의됩니다. 문제가 $n=0$에서 시작하고 인과적 수열에 초점을 둔다면, 많은 강의에서는 대신 unilateral 형태를 사용합니다.

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

핵심은 어느 형태가 더 보기 좋은지가 아닙니다. 핵심은 문제의 설정에 맞는 정의를 써야 한다는 점입니다.

Z 변환으로 할 수 있는 일

이산시간에서는 한 단계 지연이 $z^{-1}$의 곱에 대응합니다. 그래서 Z 변환은 선형 차분방정식, 디지털 필터, 점화관계를 다룰 때 유용합니다. 수열에 대한 연산이 $X(z)$에 대한 대수 연산으로 바뀌기 때문입니다.

이는 라플라스 변환의 이산시간 버전이라고 볼 수 있습니다. 두 도구 모두 시간영역 문제를 변환영역 문제로 바꾸지만, Z 변환은 연속시간 함수가 아니라 정수 인덱스를 갖는 수열에 맞게 만들어졌습니다.

예제: $x[n] = a^n u[n]$

$u[n]$를 단위 계단 수열이라고 하면, $n \ge 0$일 때 $u[n] = 1$이고 $n < 0$일 때 $u[n] = 0$입니다. 그러면

$$x[n] = a^n u[n]$$

는 오른쪽 방향 수열이라는 뜻입니다.

$$1, a, a^2, a^3, \dots$$

unilateral 정의를 사용하면,

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (a z^{-1})^n$$

이것은 기하급수입니다. 따라서 합은 다음과 같습니다.

$$X(z) = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}$$

단, 공비 $a z^{-1}$가 다음 조건을 만족해야 합니다.

$$|a z^\{-1\}| < 1$$

이 조건은 다음과 동치입니다.

$$|z| > |a|$$

따라서 완전한 답은 단순히 $X(z) = \frac{z}{z-a}$가 아닙니다. 완전한 답은 다음과 같습니다.

$$X(z) = \frac{z}{z-a}, \qquad \text{ROC: } |z| > |a|$$

마지막 조건은 부가 설명이 아니라 변환의 일부입니다.

수렴영역이 중요한 이유

수렴영역, 즉 ROC는 정의에 사용된 급수가 실제로 수렴하는 $z$ 값들의 집합입니다. ROC가 없으면 대수식만으로는 의미가 모호할 수 있습니다.

예를 들어 서로 다른 수열이 같은 유리식 표현을 만들더라도 ROC는 다를 수 있습니다. 그래서 학생들은 식과 수렴영역을 함께 써야 한다고 배웁니다.

직관적으로는 Z 변환 결과를 다음 두 부분의 쌍으로 읽으면 됩니다.

$$\text{$z$에 대한 식} \quad + \quad \text{그 식이 유효한 영역}$$

Z 변환에서 흔한 실수

가장 흔한 실수는 ROC를 빼먹는 것입니다. 이를 생략하면 수열이 오른쪽 방향인지, 왼쪽 방향인지, 양방향인지에 대한 정보를 잃을 수 있습니다.

또 다른 흔한 실수는 unilateral 정의와 bilateral 정의를 무심코 섞어 쓰는 것입니다. 몇몇 표준적인 인과 예제에서는 결과가 같을 수 있지만, 모든 유도 과정에서 서로 바꿔 써도 되는 것은 아닙니다.

세 번째 실수는 $z$를 보통의 실수 변수처럼 다루는 것입니다. 일반적으로 $z$는 복소수이므로, 크기와 복소평면에서의 위치가 중요합니다.

또 학생들은 변환쌍을 지나치게 기계적으로 외우기도 합니다. 하지만 부호 하나의 실수, 빠진 시프트, 잘못된 시작 인덱스만으로도 답이 달라질 수 있어서 위험합니다.

Z 변환은 언제 쓰일까

Z 변환은 이산시간 신호처리, 디지털 제어, 선형 점화문제에서 자주 등장합니다. 시스템이 연속적으로 변하는 것이 아니라 한 단계씩 진행된다면, Z 변환이 자연스러운 선택인 경우가 많습니다.

특히 차분방정식을 풀거나, 디지털 필터를 설명하거나, 수열을 극점과 수렴 특성과 연결해야 할 때 매우 유용합니다.

Z 변환 답을 빠르게 읽는 방법

결과를 보면 다음 네 가지를 순서대로 확인하세요.

1. 어떤 수열을 변환하고 있는가?
2. 정의가 bilateral인가, unilateral인가?
3. $X(z)$의 대수적 형태는 무엇인가?
4. ROC는 무엇인가?

이 체크리스트만으로도 피할 수 있는 실수를 많이 줄일 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

$x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$에 대해서도 같은 과정을 해 보세요. 급수를 쓰고, 기하급수로 바꾸고, ROC를 구해 보세요. 다음 단계로는 그 결과를 라플라스 변환과 비교해 보세요. 그러면 두 방법 모두 식만을 답으로 보지 않고, 식에 수렴 조건을 함께 붙여서 완전한 답을 만든다는 점을 확인할 수 있습니다.