Z変換

Z変換は、$x[0], x[1], x[2], \dots$ のような離散時間列を、複素変数 $z$ の関数として書き換える方法です。これが重要なのは、シフトや段階的な漸化式が代数式に変わり、ふつうはそのほうが解析しやすいからです。

両側列 $x[n]$ に対して、両側Z変換は次のように定義されます。

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

ただし、この級数が収束するときに限ります。問題が $n=0$ から始まり、因果的な列に注目しているなら、多くの授業では代わりに片側形を使います。

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}$$

大事なのは、どちらの形が見た目にきれいかではありません。問題の設定に合った定義を使うことが重要です。

Z変換でできること

離散時間では、1ステップの遅れは $z^{-1}$ を掛けることに対応します。だからこそZ変換は、線形差分方程式、デジタルフィルタ、漸化式の解析に役立ちます。列に対する操作が、$X(z)$ に関する代数計算へと変わるからです。

これはラプラス変換の離散時間版にあたります。どちらも時間領域の問題を変換領域の問題に移しますが、Z変換は連続時間の関数ではなく、整数で添字づけられた列のために作られています。

計算例: $x[n] = a^n u[n]$

$u[n]$ を単位ステップ列とすると、$u[n] = 1$ は $n \ge 0$ のとき、$u[n] = 0$ は $n < 0$ のときです。すると

$$x[n] = a^n u[n]$$

は、この列が右側列であることを意味します。

$$1, a, a^2, a^3, \dots$$

片側の定義を使うと、

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (a z^{-1})^n$$

となります。これは等比級数です。したがって和は

$$X(z) = \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z-a}$$

です。ただし、公比 $a z^{-1}$ が

$$|a z^\{-1\}| < 1$$

を満たす必要があります。この条件は

$$|z| > |a|$$

と同値です。

したがって、完全な答えは単に $X(z) = \frac{z}{z-a}$ ではありません。完全な答えは

$$X(z) = \frac{z}{z-a}, \qquad \text{ROC: } |z| > |a|$$

です。この最後の条件は補足ではなく、変換の一部です。

収束領域が重要な理由

収束領域、つまりROCは、定義に使った級数が実際に収束する $z$ の値の集合です。ROCがないと、代数式だけでは意味があいまいになることがあります。

たとえば、異なる列が同じ有理式を与えても、ROCが異なることがあります。だから学生は、式だけでなく収束領域もあわせて書くように教わります。

直感的には、Z変換の結果は次の組として読むとわかりやすいです。

$$\text{formula in } z \quad + \quad \text{where that formula is valid}$$

Z変換でよくあるミス

最もよくあるミスは、ROCを書き落とすことです。これを省くと、その列が右側列なのか、左側列なのか、両側列なのかという情報を失うことがあります。

もう1つよくあるのは、片側定義と両側定義を意識せずに切り替えてしまうことです。標準的な因果列の例では一致することもありますが、どの導出でも同じように使えるわけではありません。

3つ目のミスは、$z$ を普通の実数変数のように扱うことです。一般に $z$ は複素数なので、大きさや複素平面上での位置が重要になります。

また、変換対を機械的に暗記しすぎる学生もいます。これは危険で、符号の小さなミス、シフトの抜け、開始添字の取り違えだけで答えが変わることがあります。

Z変換が使われる場面

Z変換は、離散時間信号処理、デジタル制御、線形漸化式の問題でよく使われます。系が連続的ではなく1ステップずつ発展するなら、これは自然に使うべき変換であることが多いです。

特に、差分方程式を解きたいとき、デジタルフィルタを表したいとき、あるいは列を極や収束の性質と結びつけたいときに有用です。

Z変換の答えをすばやく読む方法

結果を見たら、次の4点を順に確認してください。

1. 何の列を変換しているのか。
2. 定義は両側か片側か。
3. $X(z)$ はどんな代数式になるか。
4. ROCは何か。

このチェックリストで、多くの避けられるミスを防げます。

似た問題に挑戦してみよう

$x[n] = \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n]$ についても同じ手順を試してみてください。級数を書き、等比級数に直し、ROCを求めます。次の一歩として有益なのは、その結果をラプラス変換と比べ、どちらの方法でも式だけでなく収束条件まで含めて答えになることを確かめることです。