위상수학 — 열린집합, 연속성, 핵심 개념

위상수학은 정확한 거리 대신 열린집합과 연속성을 사용해 공간을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 위상수학의 기초를 배우는 가장 빠른 방법은 이것입니다. 어떤 부분집합들을 열린집합으로 정할지 먼저 선택하고, 그 선택으로부터 연속성을 정의하는 것입니다.

그래서 위상수학은 길이, 각도, 좌표가 아니라 국소적인 성질을 기준으로 공간을 비교할 수 있습니다.

위상공간이란 무엇인가

$X$를 집합이라고 하겠습니다. $X$ 위의 위상은 $X$의 부분집합들로 이루어진 모임 $\mathcal{T}$이며, 이 부분집합들을 열린집합이라고 합니다. 그리고 다음을 만족해야 합니다.

1. $\varnothing$와 $X$는 $\mathcal{T}$에 속합니다.
2. $\mathcal{T}$에 속하는 집합들의 임의의 합집합도 $\mathcal{T}$에 속합니다.
3. $\mathcal{T}$에 속하는 집합들의 유한 개 교집합도 $\mathcal{T}$에 속합니다.

순서쌍 $(X,\mathcal{T})$를 위상공간이라고 합니다.

이 정의는 의도적으로 추상적입니다. 어떤 집합들이 열린집합인지 알면, 거리 공식을 전혀 쓰지 않고도 연속성, 근방, 닫힌집합을 정의할 수 있습니다.

왜 열린집합이 중요한가

열린집합은 한 점의 주변에 얼마나 여유가 있는지를 말해 줍니다. $\mathbb{R}$의 보통위상에서는 $(1,3)$ 같은 열린구간이 열린집합입니다. 그 안의 모든 점마다, 여전히 $(1,3)$ 안에 완전히 들어가는 더 작은 구간을 잡을 수 있기 때문입니다.

이런 국소적 아이디어가 위상수학의 핵심입니다. 어떤 집합의 각 점이 그 집합 안에서 어느 정도의 주변 여유를 가지면, 그 집합은 열린집합입니다.

또한 이것이 열린성은 위상에 따라 달라진다는 뜻이기도 합니다. 같은 부분집합이라도 어떤 위상에서는 열려 있고, 다른 위상에서는 열려 있지 않을 수 있습니다.

열린집합으로 다른 기본 개념을 정의하는 방법

근방

한 점의 근방이란 그 점을 중심으로 하는 어떤 열린집합을 포함하는 임의의 집합입니다. 이는 거리를 사용하지 않고 국소적인 가까움을 표현하는 위상수학의 방식입니다.

닫힌집합

어떤 집합의 여집합이 열린집합이면 그 집합은 닫힌집합입니다. 실수직선처럼 익숙한 공간에서는 닫힌집합이 경계를 포함하는 경우가 많지만, 그것이 정의 자체는 아닙니다.

연속성

$X$와 $Y$가 위상공간일 때, 함수 $f:X \to Y$가 연속이라는 것은 $Y$의 모든 열린집합 $U \subseteq Y$에 대해 역상 $f^{-1}(U)$가 $X$에서 열린집합이라는 뜻입니다.

$$f \text{ is continuous if } f^{-1}(U) \text{ is open for every open } U \subseteq Y$$

이 정의는 $\mathbb{R}$에서는 미적분에서의 익숙한 연속 개념과 일치합니다. 하지만 거리 구조가 핵심이 아닌 공간에서도 그대로 작동합니다.

위상동형사상

위상동형사상은 전단사이면서 연속이고, 역함수도 연속인 함수입니다. 두 공간이 위상동형이면, 위상수학에서는 두 공간이 위상적인 의미에서 같은 모양을 가진다고 봅니다.

이 말은 양방향의 연속성에 의존합니다. 단순한 전단사만으로는 충분하지 않습니다.

예제로 보기: 보통위상에서 $f(x)=x^2$가 왜 연속인가

다음과 같이 주어진 함수 $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$를 생각합시다.

$$f(x)=x^2$$

여기서 $\mathbb{R}$에는 보통위상을 사용합니다.

공역의 열린집합 $(1,4)$를 잡아 봅시다. 그 역상은

$$f^{-1}((1,4))=\{x \in \mathbb{R} : 1 < x^2 < 4\}$$

이고, 이를 정리하면

$$(-2,-1)\cup(1,2).$$

이 집합은 열린구간들의 합집합이므로 $\mathbb{R}$의 보통위상에서 열린집합입니다. 이 예시는 무엇을 확인해야 하는지를 잘 보여 줍니다. 연속성은 $f$가 열린집합을 열린집합으로 보내는지에 관한 것이 아니라, 열린집합의 역상이 열린집합인지에 관한 것입니다.

$\mathbb{R}$에서는 이 조건이 결국 미적분에서의 극한을 이용한 연속의 정의와 일치합니다.

위상수학 기초에서 흔한 실수

"열린"의 뜻이 어디서나 같다고 생각하기

그렇지 않습니다. 열린성은 선택한 위상에 대해 상대적으로 정의됩니다.

상과 역상을 혼동하기

연속성은 열린집합의 역상이 열린집합인지에 관한 것입니다. 함수에 추가 조건이 없으면 열린집합의 상은 꼭 열린집합일 필요가 없습니다.

위상수학을 이름만 바뀐 거리기하로 생각하기

많은 위상공간이 거리로부터 나오기는 합니다. 하지만 위상수학 자체는 더 일반적입니다. 국소적 성질과 연속성을 말하는 데 필요한 구조만 남겨 둡니다.

모든 전단사가 위상적 동치라고 가정하기

위상동형이 되려면 함수는 전단사이고, 연속이며, 역함수도 연속이어야 합니다.

위상수학은 어디에 쓰이는가

위상수학은 현대 해석학에서 연속성, 콤팩트성, 연결성, 수렴을 다루는 언어를 제공합니다. 또한 기하학, 동역학계, 미분방정식, 그리고 거친 수준에서 모양을 분석하는 데이터 분석에도 등장합니다.

초보자에게는 더 실용적인 의미가 있습니다. 위상수학은 왜 연속성을 좌표나 거리 공식에 의존하지 않는 방식으로 정의할 수 있는지를 설명해 줍니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

같은 함수 $f(x)=x^2$를 사용하되, 이번에는 열린집합 $(0,1)$에서 시작해 보세요. $f^{-1}((0,1))$를 구하고 그것이 $\mathbb{R}$에서 열린집합인지 확인해 보세요.

그다음 단계로 가고 싶다면, 연속성의 다른 경우를 살펴보고 위상적 정의를 미적분의 극한 정의와 비교해 보세요.