선형대수학 — 벡터, 행렬과 핵심 개념

선형대수학은 벡터, 행렬, 선형변환이 어떻게 작동하는지를 설명합니다. 선형대수학 기초를 찾고 있다면 핵심 아이디어는 간단합니다. 여러 성분을 가진 양과, 그것들을 일관된 방식으로 결합하거나 변환하는 규칙을 다루는 학문입니다.

"선형"이라는 말이 중요한 이유는 거동을 예측 가능하게 만들기 때문입니다. 어떤 규칙이 선형이면 입력을 더했을 때 출력도 같은 방식으로 더해지고, 입력을 일정 배로 늘리면 출력도 같은 배수로 늘어납니다.

쉬운 말로 보는 벡터와 행렬

벡터는 순서가 있는 수의 목록입니다. 실제로 벡터는 위치, 속도, 측정값의 목록, 또는 어떤 문제의 계수를 나타낼 수 있습니다.

예를 들어, 다음은 $2$차원 벡터입니다:

$$\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \end{bmatrix}$$

행렬은 직사각형 형태로 배열된 수의 집합입니다. 행렬은 계수를 저장할 수도 있고, 연립방정식을 나타낼 수도 있으며, 한 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 규칙으로 작용할 수도 있습니다.

다음은 $2 \times 2$ 행렬입니다:

$$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

이 차이는 분명히 구분해 두는 것이 좋습니다. 벡터는 하나의 수학적 대상이고, 행렬은 보통 벡터를 정리하거나 벡터에 규칙을 적용하는 데 사용됩니다.

선형대수학에서 "선형"의 의미

선형대수학에서 "선형"은 단지 "직선처럼 보인다"는 뜻이 아닙니다. 어떤 규칙이 덧셈과 스칼라배를 보존한다는 뜻입니다.

$T$가 선형변환이라면, 벡터 $u$, $v$와 스칼라 $c$에 대해

$$T(u + v) = T(u) + T(v)$$

그리고

$$T(cu) = cT(u)$$

가 성립합니다.

이 두 조건 때문에 행렬이 매우 유용합니다. 행렬을 곱하는 것은 정확히 이런 성질을 가진 변환을 간결하게 표현하는 방법입니다.

이 정의에서 바로 따라오는 빠른 확인법이 하나 있습니다. 모든 선형변환은 영벡터를 영벡터로 보냅니다. $T(x) = x + 1$ 같은 규칙은 이 조건을 만족하지 않으므로, 여기서는 선형이 아닙니다.

먼저 알아야 할 핵심 아이디어

스칼라는 하나의 수이고, 벡터는 수의 목록이며, 행렬은 수의 배열입니다. 이 역할들을 혼동하면 초보자가 자주 실수하게 됩니다.

선형결합

선형결합은 벡터에 스칼라를 곱한 뒤 그것들을 더해서 만듭니다. 예를 들어, $2u - 3v$는 $u$와 $v$의 선형결합입니다.

이 아이디어가 중요한 이유는 많은 문제가 결국 하나의 질문으로 줄어들기 때문입니다. 목표 벡터를 이미 가지고 있는 벡터들로 만들 수 있는가?

변환으로서의 행렬

행렬이 벡터에 곱해질 때, 벡터의 성분들을 고정된 계수로 섞습니다. 그래서 행렬은 종종 하나의 변환으로 설명됩니다.

선형시스템

다음과 같은 연립방정식은

$$\begin{aligned} x + 2y &= 5 \\ 3x - y &= 4 \end{aligned}$$

행렬 형태로 쓸 수 있습니다. 선형대수학은 이 시스템을 푸는 도구를 제공하고, 해가 하나인지, 없는지, 무한히 많은지도 판단하게 해 줍니다.

예제로 보기: 행렬과 벡터의 곱

다음 행렬

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$$

과 벡터

$$v = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix}.$$

를 생각해 봅시다.

$Av$를 계산하려면, 행렬의 각 행을 벡터와 곱합니다:

$$Av = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 4 + 3 \cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}.$$

출력은 새로운 벡터이며, 그 각 성분은 입력 성분들의 선형결합입니다. 여기서 첫 번째 출력 성분은 $1 \cdot 4 + 2 \cdot 1 = 6$이고, 두 번째는 $0 \cdot 4 + 3 \cdot 1 = 3$입니다.

즉, 이 행렬은 입력 벡터를 다음 벡터로 보냅니다:

$$\begin{bmatrix} 6 \\ 3 \end{bmatrix}.$$

이것이 행렬-벡터 곱의 기본 패턴입니다. 각 출력 성분은 행렬의 한 행으로부터 만들어집니다.

선형대수학에서 자주 하는 실수

행렬곱을 성분별 곱셈처럼 다루기

행렬곱은 보통 같은 위치의 원소끼리 곱하는 방식이 아닙니다. 행과 열의 조합을 사용하므로 구조가 중요합니다.

차원을 무시하기

행렬의 열 개수와 벡터의 성분 개수가 같을 때만 행렬과 벡터를 곱할 수 있습니다. 차원이 맞지 않으면 곱은 정의되지 않습니다.

모든 시스템에 해가 정확히 하나 있다고 가정하기

이것은 특정 조건에서만 참입니다. 어떤 선형시스템은 해가 없고, 어떤 것은 해가 무한히 많습니다.

"선형"이라는 말을 너무 느슨하게 쓰기

어떤 규칙이 단순해 보인다고 해서 선형인 것은 아닙니다. $x^2$ 같은 항, $xy$ 같은 곱, 또는 $x + 1$ 같은 상수 이동은 선형성을 깨뜨릴 수 있습니다.

선형대수학 기초는 어디에 쓰일까

선형대수학은 서로 관련된 많은 양과, 그것들에 체계적으로 작용하는 규칙이 있는 문제에서 등장합니다.

컴퓨터 그래픽스의 회전과 투영, 공학의 연립방정식, 물리학의 상태 모델, 데이터 과학의 행렬 기반 방법 등에 사용됩니다.

기초의 도움을 받기 위해 고급 이론까지 알 필요는 없습니다. 벡터, 행렬, 그리고 행렬-벡터 곱이 이해되면 이후 주제들을 훨씬 쉽게 배울 수 있습니다.

비슷한 문제를 풀어 보세요

다음을 직접 계산해 보세요:

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}.$$

그다음 각 출력 성분이 무엇을 의미하는지 스스로 물어보세요. 이 예제가 이해됐다면, 다른 $2 \times 2$ 행렬로 직접 비슷한 예를 만들어 보고 출력이 어떻게 바뀌는지 확인해 보세요.