Induttori — Induttanza, circuiti RL e accumulo di energia

Un induttore immagazzina energia in un campo magnetico e fa sì che la corrente cambi gradualmente invece che all’istante. Nel modello ideale di circuito, la sua equazione fondamentale è

$$V_L = L\frac{dI}{dt}$$

Questa sola relazione spiega rapidamente l’idea principale. L’induttore non si oppone alla corrente in sé. Si oppone alle variazioni di corrente. Se la corrente è costante, allora $dI/dt = 0$ e l’induttore ideale ha tensione nulla ai suoi capi.

Cosa significa l’induttanza in parole semplici

L’induttanza, indicata con $L$, dice quanta tensione serve per cambiare la corrente a una certa velocità. Un valore di $L$ più grande significa che la stessa tensione cambia la corrente più lentamente.

Per questo una bobina può smussare le variazioni di corrente in un circuito. Maggiore induttanza significa maggiore opposizione ai rapidi cambiamenti di corrente.

Perché la corrente in un induttore ideale non può saltare istantaneamente

Nel modello ideale, un salto istantaneo della corrente renderebbe $dI/dt$ estremamente grande. Da

$$V_L = L\frac{dI}{dt}$$

seguirebbe che servirebbe una tensione estremamente grande. In un normale circuito con tensione finita, quella tensione non è disponibile, quindi la corrente attraverso un induttore ideale cambia in modo continuo.

Questa è l’intuizione pratica alla base dei problemi di commutazione nei circuiti RL. Subito dopo l’apertura o la chiusura di un interruttore, è l’induttore che impedisce alla corrente di saltare immediatamente al nuovo valore.

Come un induttore immagazzina energia

Un induttore ideale percorso da corrente $I$ immagazzina energia magnetica

$$U = \frac{1}{2}LI^2$$

Il quadrato è importante. Se la corrente raddoppia, l’energia immagazzinata diventa quattro volte maggiore.

Questo è uno dei motivi per cui gli induttori compaiono in filtri, alimentatori e circuiti di commutazione. Possono immagazzinare energia per breve tempo e rilasciarla mentre il circuito cambia.

Esempio svolto: corrente in un circuito RL da 12 V

Considera una sorgente continua da $12\ \mathrm{V}$ collegata in serie con un resistore $R = 6\ \Omega$ e un induttore ideale $L = 3\ \mathrm{H}$. L’interruttore si chiude a $t = 0$.

Per questa risposta al gradino di un circuito RL in serie, la costante di tempo è

$$\tau = \frac{L}{R} = \frac{3}{6} = 0.5\ \mathrm{s}$$

La corrente finale a regime è

$$I_{\infty} = \frac{V}{R} = \frac{12}{6} = 2\ \mathrm{A}$$

La corrente non salta direttamente a $2\ \mathrm{A}$. Per questo specifico caso di ingresso a gradino, cresce come

$$I(t) = \frac{V}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right)$$

quindi in questo circuito

$$I(t) = 2\left(1 - e^{-t/0.5}\right)$$

Dopo una costante di tempo, $t = 0.5\ \mathrm{s}$:

$$I(0.5) = 2\left(1 - e^{-1}\right) \approx 1.26\ \mathrm{A}$$

Quindi dopo una costante di tempo, la corrente è circa il $63\%$ del suo valore finale. Questo è il riferimento standard per i circuiti RL.

In quell’istante, la tensione sul resistore è

$$V_R = IR \approx (1.26)(6) \approx 7.56\ \mathrm{V}$$

Il resto della tensione della sorgente è ai capi dell’induttore:

$$V_L = 12 - 7.56 \approx 4.44\ \mathrm{V}$$

Questo mostra il comportamento fondamentale. All’inizio, l’induttore assorbe una parte maggiore della tensione della sorgente perché la corrente sta cambiando rapidamente. Più tardi, quando la corrente si stabilizza e $dI/dt$ diventa più piccolo, la tensione sull’induttore scende verso zero.

L’energia magnetica immagazzinata dopo una costante di tempo è

$$U = \frac{1}{2}LI^2 \approx \frac{1}{2}(3)(1.26)^2 \approx 2.38\ \mathrm{J}$$

Errori comuni con gli induttori e i circuiti RL

Dire che un induttore "blocca la corrente continua"

Questa affermazione ha bisogno di una condizione. In corrente continua ideale a regime, l’induttore ha caduta di tensione nulla. Durante il transitorio prima che la corrente si stabilizzi, invece, influenza fortemente il circuito.

Trattare $V_L = L\,dI/dt$ come una formula che riguarda solo la corrente

La tensione dipende da quanto rapidamente cambia la corrente, non dal fatto che la corrente sia grande o piccola. Può esistere una grande corrente costante con tensione nulla su un induttore ideale.

Pensare che la costante di tempo sia il tempo di completamento

$\tau = L/R$ è una scala temporale, non un limite netto. Dopo una costante di tempo il processo è ancora in corso; è semplicemente già ben avviato.

Dimenticare la condizione del modello ideale

Gli induttori reali hanno resistenza dell’avvolgimento, capacità parassita e limiti del nucleo. Le equazioni ideali sono utili, ma restano comunque un modello.

Dove si usano gli induttori

Gli induttori compaiono nei transitori RL, nei filtri, negli alimentatori switching, negli elettromagneti, nei trasformatori e nei sistemi a motore. I dettagli cambiano, ma lo schema fondamentale resta lo stesso: contano ogni volta che sono importanti la corrente variabile e l’accumulo di energia magnetica.

Si collegano anche in modo naturale all’induzione elettromagnetica. Una corrente variabile crea un campo magnetico variabile, e quel campo variabile produce una f.e.m. indotta che si oppone al cambiamento.

Prova un circuito RL simile

Mantieni la stessa sorgente da $12\ \mathrm{V}$ e lo stesso resistore da $6\ \Omega$, ma cambia l’induttanza da $3\ \mathrm{H}$ a $1.5\ \mathrm{H}$. La corrente finale resta la stessa, ma la costante di tempo diventa più piccola, quindi la corrente cresce più rapidamente.

Se vuoi fare un passo in più, prova una tua versione con valori diversi di $L$ e $R$ e controlla come cambia la costante di tempo prima di calcolare la risposta completa. Se vuoi un altro caso svolto, puoi provare un problema RL simile in GPAI Solver.