Kovarians — Rumus, Arti, dan Bedanya dengan Korelasi

Kovarians mengukur apakah dua variabel cenderung berada di atas atau di bawah rata-ratanya secara bersamaan. Kovarians positif berarti variabel biasanya bergerak searah relatif terhadap rata-ratanya. Kovarians negatif berarti satu variabel cenderung berada di atas rata-rata saat variabel lain berada di bawah rata-rata.

Bagi kebanyakan siswa, gagasan utamanya adalah ini: tanda biasanya lebih berguna daripada angka mentahnya. Besar kovarians bergantung pada satuan kedua variabel, jadi nilainya sendiri bukan ukuran kekuatan yang bersih.

Rumus Kovarians untuk Sampel dan Populasi

Untuk sampel data berpasangan, rumus yang umum adalah

$$s_{xy} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$$

Di sini $\bar{x}$ dan $\bar{y}$ adalah rata-rata sampel. Setiap hasil kali $(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})$ bernilai positif ketika pasangan berada di sisi yang sama terhadap kedua rata-rata, dan bernilai negatif ketika pasangan berada di sisi yang berlawanan.

Jika Anda bekerja dengan populasi penuh, bukan sampel, penyebutnya biasanya $N$ alih-alih $n-1$:

$$\mathrm{Cov}(X,Y) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N (x_i-\mu_x)(y_i-\mu_y)$$

Gunakan versi sampel untuk data sampel, dan gunakan versi populasi hanya ketika data tersebut mewakili seluruh populasi yang ingin Anda jelaskan.

Cara Membaca Tanda Kovarians

Kovarians dibangun dari deviasi berpasangan terhadap rata-rata.

Jika kedua deviasi bernilai positif, hasil kalinya positif. Jika keduanya bernilai negatif, hasil kalinya juga positif. Pasangan-pasangan ini mendorong kovarians naik karena variabel bergerak bersama relatif terhadap pusatnya.

Jika satu deviasi positif dan yang lain negatif, hasil kalinya negatif. Pasangan-pasangan ini menarik kovarians turun karena variabel bergerak berlawanan arah.

Jadi, kovarians sebenarnya adalah rata-rata dari "pergerakan bersama di sekitar rata-rata."

Contoh Soal: Jam Belajar dan Nilai Kuis

Misalkan sebuah sampel kecil mencatat jam belajar dan nilai kuis:

$$(1,70),\ (2,80),\ (3,90)$$

Pertama, cari rata-ratanya:

$$\bar{x} = \frac{1+2+3}{3} = 2$$ $$\bar{y} = \frac{70+80+90}{3} = 80$$

Sekarang hitung deviasi dan hasil kalinya:

• Untuk $(1,70)$: $(1-2)(70-80) = (-1)(-10) = 10$
• Untuk $(2,80)$: $(2-2)(80-80) = 0$
• Untuk $(3,90)$: $(3-2)(90-80) = (1)(10) = 10$

Jumlahkan hasil kalinya:

$$10 + 0 + 10 = 20$$

Karena ini adalah kovarians sampel, bagi dengan $n-1 = 2$:

$$s_{xy} = \frac{20}{2} = 10$$

Kovariansnya positif, jadi kedua variabel bergerak bersama dalam sampel ini. Waktu belajar yang lebih lama di sini berkaitan dengan nilai kuis yang lebih tinggi.

Peringatan pentingnya adalah bahwa $10$ bukan skala kekuatan yang universal. Besarnya bergantung pada satuan di sini: jam dikali poin nilai. Jika Anda mengubah skala pengukuran, kovarians juga akan berubah, meskipun pola umumnya tetap mirip.

Kovarians vs Korelasi: Perbedaan Utama

Kovarians dan korelasi berhubungan erat, tetapi menjawab pertanyaan yang sedikit berbeda.

Kovarians memberi tahu arah pergerakan bersama dan mempertahankan skala aslinya. Korelasi menstandarkan hubungan itu dengan membagi kovarians dengan simpangan baku, ketika simpangan baku tersebut tidak nol:

$$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y}$$

Itulah sebabnya korelasi tidak bersatuan dan lebih mudah dibandingkan antar kumpulan data yang berbeda. Nilainya tetap berada antara $-1$ dan $1$, sedangkan kovarians tidak memiliki rentang tetap.

Dalam praktiknya:

• Gunakan kovarians ketika Anda peduli pada variasi bersama dalam satuan asli atau ketika kovarians muncul di dalam perhitungan yang lebih besar, seperti matriks kovarians.
• Gunakan korelasi ketika Anda menginginkan ringkasan tanpa satuan yang lebih mudah dibandingkan antar kumpulan data.

Kesalahan Umum pada Kovarians

Menganggap Kovarians Besar Otomatis Berarti Hubungan Kuat

Kovarians sebesar $100$ tidak otomatis "lebih kuat" daripada kovarians sebesar $5$. Bisa jadi variabelnya hanya diukur pada skala yang lebih besar.

Tertukar antara Rumus Sampel dan Populasi

Jika data Anda adalah sampel, membagi dengan $n-1$ adalah standar. Jika data Anda adalah seluruh populasi yang menjadi perhatian, membagi dengan $N$ adalah versi populasi.

Mengira Kovarians Nol Berarti Tidak Ada Hubungan Sama Sekali

Kovarians yang mendekati $0$ berarti hanya ada sedikit pergerakan linear bersama di sekitar rata-rata. Ini tidak menyingkirkan kemungkinan adanya hubungan nonlinier.

Jika dua variabel saling independen dan kovariansnya ada, maka kovariansnya adalah $0$. Kebalikannya tidak selalu benar.

Membaca Kovarians sebagai Kausalitas

Kovarians hanya menggambarkan bagaimana variabel berubah bersama. Kovarians tidak menjelaskan mengapa mereka berubah bersama.

Kapan Kovarians Digunakan

Kovarians muncul dalam statistika, keuangan, machine learning, dan analisis data ketika variabel berpasangan perlu dipelajari bersama.

Kovarians sangat umum dalam matriks kovarians, di mana setiap entri merangkum bagaimana dua variabel bervariasi bersama. Ini penting dalam bidang seperti risiko portofolio, analisis komponen utama, dan pemodelan multivariabel.

Coba Soal Serupa

Ambil tiga atau empat nilai berpasangan apa pun, hitung kedua rata-ratanya, lalu kalikan deviasi berpasangan sebelum merata-ratakannya. Satu prosedur itu membuat tanda kovarians terasa jauh lebih konkret.

Jika Anda ingin melangkah lebih jauh, bandingkan data yang sama dengan koefisien korelasi dan perhatikan bagaimana standardisasi skala mengubah interpretasinya.