Aljabar Boolean — Hukum, Teorema & Penyederhanaan

Aljabar Boolean adalah sistem yang digunakan untuk menggabungkan dan menyederhanakan ekspresi benar/salah. Jika Anda ingin mereduksi ekspresi logika seperti $AB + A\overline{B}$, alat utamanya adalah hukum-hukum seperti komplemen, distributif, absorpsi, dan teorema De Morgan.

Dalam salah satu notasi yang umum, $x + y$ berarti OR, $xy$ berarti AND, dan $\overline{x}$ berarti NOT $x$. Beberapa buku menuliskan NOT sebagai $x'$, tetapi aturan dasarnya tetap sama.

Apa Arti Aljabar Boolean

Aljabar biasa bekerja dengan bilangan. Aljabar Boolean bekerja dengan pernyataan atau variabel biner yang hanya dapat bernilai dua: benar/salah atau $1/0$.

Hal ini mengubah aturannya. Dalam aljabar Boolean,

$$x + x = x \quad \text{dan} \quad xx = x$$

Kedua identitas itu menyatakan hal yang sama: mengulang suatu kondisi tidak menghasilkan keluaran baru. Jika sebuah sakelar sudah menyala, mengatakan "menyala OR menyala" tidak mengubah apa pun.

Hukum Aljabar Boolean yang Benar-Benar Dipakai

Inilah hukum-hukum yang paling sering muncul saat Anda menyederhanakan ekspresi Boolean.

Hukum identitas

$$x + 0 = x, \qquad x \cdot 1 = x$$

Menambahkan false tidak mengubah apa pun, dan AND dengan true juga tidak mengubah apa pun.

Hukum nol

$$x + 1 = 1, \qquad x \cdot 0 = 0$$

Jika sebuah OR sudah memuat true, seluruh hasilnya true. Jika sebuah AND memuat false, seluruh hasilnya false.

Hukum idempoten

$$x + x = x, \qquad x \cdot x = x$$

Mengulang variabel yang sama tidak mengubah ekspresi.

Hukum komplemen

$$x + \overline{x} = 1, \qquad x \cdot \overline{x} = 0$$

Sebuah variabel dan kebalikannya mencakup semua kemungkinan dalam OR, tetapi tidak pernah tumpang tindih dalam AND.

Hukum komutatif dan asosiatif

$$x + y = y + x, \qquad xy = yx$$ $$(x + y) + z = x + (y + z), \qquad (xy)z = x(yz)$$

Hukum ini memungkinkan Anda menukar urutan atau mengelompokkan ulang suku tanpa mengubah hasil.

Hukum distributif

$$x(y + z) = xy + xz$$ $$x + yz = (x + y)(x + z)$$

Bentuk kedua sering terasa kurang familiar, tetapi itu adalah identitas Boolean standar dan sering muncul saat pemfaktoran.

Hukum absorpsi

$$x + xy = x, \qquad x(x + y) = x$$

Hukum ini sangat berguna ketika sebuah ekspresi tampak lebih panjang daripada yang sebenarnya.

Teorema De Morgan

$$\overline{x + y} = \overline{x}\,\overline{y}, \qquad \overline{xy} = \overline{x} + \overline{y}$$

Teorema ini menjelaskan bagaimana negasi berpindah melintasi OR dan AND. Saat NOT melewati tanda kurung, OR dan AND saling bertukar peran.

Contoh Dikerjakan: Sederhanakan $AB + A\overline{B}$

Mulai dari

$$F = AB + A\overline{B}$$

Faktorkan $A$ yang sama:

$$F = A(B + \overline{B})$$

Sekarang gunakan hukum komplemen:

$$F = A \cdot 1$$

Lalu gunakan hukum identitas:

$$F = A$$

Jadi $AB + A\overline{B} = A$. Secara intuitif, jika $A = 1$, maka entah $B = 1$ atau $\overline{B} = 1$, sehingga salah satu suku pasti true. Jika $A = 0$, kedua suku bernilai false. Seluruh ekspresi hanya bergantung pada $A$.

Kesalahan Umum dalam Aljabar Boolean

Salah satu kesalahan yang umum adalah membawa kebiasaan dari aljabar biasa ke aljabar Boolean. Misalnya, $x + x = 2x$ bukan aturan Boolean. Di sini, hasil yang benar adalah $x$.

Kesalahan lain adalah menerapkan suatu hukum tanpa memeriksa notasinya. Dalam banyak teks, $+$ berarti OR, bukan penjumlahan aritmetika, dan menulis variabel berdampingan berarti AND.

Siswa juga sering salah menggunakan teorema De Morgan dengan menegasikan setiap variabel tetapi lupa menukar OR dan AND. Kedua bagian itu sama-sama penting.

Di Mana Aljabar Boolean Digunakan

Aljabar Boolean sangat penting dalam logika digital, ketika variabel merepresentasikan keadaan on/off atau true/false. Aljabar ini digunakan untuk menyederhanakan desain rangkaian, menulis kondisi logika yang lebih rapi dalam perangkat lunak, dan menalar filter pencarian atau kueri basis data.

Jika variabelnya tidak biner atau operasinya adalah aritmetika biasa, hukum Boolean tidak berlaku secara langsung. Kondisi dua nilai inilah yang membuat sistem tersebut bekerja.

Coba Penyederhanaan yang Mirip

Coba sederhanakan $(A + B)(A + \overline{B})$. Jika Anda menggunakan hukum-hukum di atas dengan cermat, bentuknya menyusut lebih banyak daripada yang terlihat pada awalnya. Jika ingin melangkah lebih jauh, buat tabel kebenaran dan periksa bahwa bentuk sederhananya cocok pada setiap baris.