Suites Arithmétiques et Géométriques

Une suite arithmétique ajoute toujours la même quantité d'un terme au suivant. Une suite géométrique multiplie toujours par le même facteur. Pour les reconnaître vite, cherchez donc soit une différence constante, soit un quotient constant.

Si l'indexation commence à $1$, les formes les plus utilisées sont :

$$u_n = u_1 + (n-1)r$$

pour une suite arithmétique de raison $r$, et

$$u_n = u_1 q^{n-1}$$

pour une suite géométrique de raison $q$.

Comment reconnaître une suite arithmétique ou géométrique

Pour une suite arithmétique, la différence $u_{n+1} - u_n$ reste constante. Par exemple, $5, 8, 11, 14$ est une suite arithmétique car on ajoute toujours $3$.

Pour une suite géométrique, le quotient $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ reste constant, à condition que le terme au dénominateur ne soit pas nul. Par exemple, $5, 10, 20, 40$ est une suite géométrique car on multiplie toujours par $2$.

Le bon réflexe est simple : regardez d'abord comment on passe d'un terme au suivant. N'appliquez pas une formule avant d'avoir identifié la règle.

Ce que signifie la raison de la suite

Dans une suite arithmétique, la raison $r$ mesure un écart fixe. Si $r$ est positif, la suite augmente régulièrement. Si $r$ est négatif, elle diminue régulièrement.

Dans une suite géométrique, la raison $q$ mesure un facteur multiplicatif. Si les termes sont positifs et si $q > 1$, la suite augmente. Si $0 < q < 1$, les termes positifs diminuent. Si $q < 0$, les signes alternent.

Ces conditions comptent. Dire seulement "la suite augmente" ou "la suite diminue" ne suffit pas si on ne précise pas la valeur de la raison.

Exemple: même premier terme, comportement différent

Prenons deux suites définies à partir du même premier terme $u_1 = 3$.

La première est arithmétique de raison $r = 4$. Son terme général est :

$$u_n = 3 + (n-1)4$$

On obtient :

$$3,\ 7,\ 11,\ 15,\dots$$

La seconde est géométrique de raison $q = 2$. Son terme général est :

$$u_n = 3 \cdot 2^{n-1}$$

On obtient :

$$3,\ 6,\ 12,\ 24,\dots$$

Calculons le cinquième terme dans chaque cas. Pour la suite arithmétique :

$$u_5 = 3 + (5-1)4 = 19$$

Pour la suite géométrique :

$$u_5 = 3 \cdot 2^{5-1} = 3 \cdot 16 = 48$$

Les deux suites augmentent, mais pas de la même manière. La suite arithmétique avance par pas fixes de $4$. La suite géométrique double à chaque étape, donc l'écart entre les termes grossit rapidement.

Erreurs fréquentes à éviter

La confusion la plus fréquente est de mélanger différence constante et quotient constant. Une suite peut augmenter sans être arithmétique, et elle peut aussi augmenter sans être géométrique.

Une autre erreur courante est d'utiliser la formule avec la mauvaise indexation. Si l'énoncé commence à $u_0$ au lieu de $u_1$, il faut adapter l'écriture du terme général.

Il faut aussi éviter de calculer $\frac{u_{n+1}}{u_n}$ quand $u_n = 0$. Dans ce cas, le test par quotient n'est pas défini sur ce passage.

Enfin, une suite géométrique peut avoir une raison négative. Les signes alternent alors, même si la règle de multiplication reste parfaitement régulière.

Quand utilise-t-on ces suites en mathématiques ?

Les suites arithmétiques servent quand on ajoute toujours la même quantité : une somme épargnée chaque semaine, une rangée numérotée ou une progression linéaire simple.

Les suites géométriques servent quand on applique toujours le même facteur : intérêts composés, baisse répétée en pourcentage ou modèle simple de croissance.

Si la situation se lit comme "plus $k$", pensez arithmétique. Si elle se lit comme "fois $q$", pensez géométrique.

Ce qu'il faut retenir

Pour distinguer rapidement les deux, posez-vous une seule question : passe-t-on d'un terme au suivant en ajoutant toujours la même quantité, ou en multipliant toujours par le même facteur ? Cette vérification suffit souvent à choisir la bonne formule.

Essayez un cas proche

Prenez maintenant $u_1 = 10$. Construisez une suite arithmétique de raison $-2$, puis une suite géométrique de raison $\frac{1}{2}$. Comparez leurs quatre premiers termes : c'est un bon moyen de voir immédiatement la différence entre évolution additive et évolution multiplicative.