Probabilités — Formules

Les formules de probabilités permettent de calculer une chance et de relier plusieurs événements. Les plus utiles à connaître sont la formule en cas équiprobable, le complémentaire, l'union, l'intersection et la probabilité conditionnelle.

Le point décisif est simple : chaque formule répond à une situation précise. La formule $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ ne s'utilise que si l'univers est fini et que les issues sont équiprobables. Les formules avec $A \cup B$, $A \cap B$ ou $P(A \mid B)$ servent ensuite à traduire les mots "ou", "et" et "sachant que".

Les formules de probabilités essentielles

Cas équiprobable : calculer une probabilité simple

Si toutes les issues ont la même chance d'apparaître dans un univers fini, alors

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

Ici, $|A|$ est le nombre de cas favorables et $|\Omega|$ le nombre total de cas possibles.

Exemple rapide : avec un dé équilibré, l'événement "obtenir un nombre pair" contient $2$, $4$ et $6$. On a donc

$$P(\text{pair}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Sans équiprobabilité, ce rapport ne convient plus tel quel.

Complémentaire : traiter un "non"

Quand il est plus simple de calculer l'événement contraire, on utilise

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Cette formule est pratique pour des formulations comme "ne pas obtenir", "aucun" ou "au moins un".

Union : traiter un "ou"

Pour calculer la probabilité de "$A$ ou $B$", on écrit

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

On retire l'intersection pour éviter de compter deux fois les issues communes à $A$ et à $B$.

Si $A$ et $B$ sont incompatibles, alors $P(A \cap B)=0$ et la formule devient

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Intersection et conditionnelle : traiter un "et" ou un "sachant que"

Dans le cas général,

$$P(A \cap B) = P(A)P(B \mid A)$$

De façon équivalente,

$$P(A \cap B) = P(B)P(A \mid B)$$

Si $A$ et $B$ sont indépendants, on peut simplifier en

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Cette simplification demande une vraie justification. Deux événements différents ne sont pas automatiquement indépendants.

La probabilité conditionnelle s'écrit

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Cette formule n'a de sens que si $P(B) > 0$.

Comment choisir la bonne formule dans un exercice

Repérez d'abord les mots de l'énoncé. "Non" renvoie souvent au complémentaire, "ou" à l'union, "et" à l'intersection, et "sachant que" à une probabilité conditionnelle.

Ensuite, vérifiez les conditions avant de calculer. Une formule correcte appliquée dans le mauvais contexte donne une réponse fausse, même si le calcul est propre.

Exemple résolu : tirer un coeur ou une figure

On tire une carte au hasard dans un jeu standard de $52$ cartes.

Posons $A$ = "tirer un coeur" et $B$ = "tirer une figure". Il y a $13$ coeurs, $12$ figures et $3$ figures de coeur.

Comme l'énoncé contient "ou", on utilise l'union :

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Ici,

$$P(A) = \frac{13}{52}, \qquad P(B) = \frac{12}{52}, \qquad P(A \cap B) = \frac{3}{52}$$

Donc

$$\begin{aligned} P(A \cup B) &= \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} \\ &= \frac{22}{52} \\ &= \frac{11}{26} \end{aligned}$$

Le point clé est le double comptage. Les $3$ figures de coeur appartiennent à la fois à $A$ et à $B$, donc on doit les retirer une fois.

Le même exemple permet de lire une probabilité conditionnelle. Si l'on sait déjà que la carte tirée est une figure, alors

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/52}{12/52} = \frac{1}{4}$$

Parmi toutes les figures, un quart sont des coeurs.

Erreurs fréquentes avec les formules de probabilités

La première erreur consiste à utiliser $P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}$ sans vérifier l'équiprobabilité. Cette écriture est simple, mais elle dépend d'une condition précise.

La deuxième erreur consiste à oublier l'intersection dans une union. Écrire seulement $P(A)+P(B)$ donne une valeur trop grande dès que les deux événements peuvent se produire ensemble.

La troisième erreur est de confondre événements incompatibles et événements indépendants. Des événements incompatibles ne se réalisent jamais ensemble. Des événements indépendants, eux, peuvent se réaliser ensemble, mais l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.

Enfin, en probabilité conditionnelle, le dénominateur correspond à l'événement déjà supposé vrai. C'est souvent là que l'interprétation bloque.

Quand ces formules sont utilisées

On retrouve ces formules dans les exercices sur les dés, les cartes, les urnes, les tirages successifs et les premiers tableaux à double entrée. Elles servent aussi de base avant les lois de probabilité, les variables aléatoires et une partie de la statistique.

Même dans un problème plus avancé, la démarche reste souvent la même : définir les événements proprement, repérer leur relation, puis choisir la formule adaptée.

Essayez un cas similaire

Essayez maintenant une variante : dans un jeu de $52$ cartes, quelle est la probabilité de tirer un roi ou une carte noire ? Nommez d'abord les deux événements, puis vérifiez s'ils ont une partie commune avant de calculer.