Matrices et déterminants

Matrices et déterminants vont souvent ensemble parce qu'ils répondent à deux questions simples. Une matrice range des nombres en lignes et en colonnes. Le déterminant, lui, dit si une matrice carrée garde assez d'information pour être inversée : si $\det(A)=0$, alors $A$ n'est pas inversible.

Si vous cherchez l'idée essentielle, retenez ceci : pour une matrice $2 \times 2$, le déterminant se calcule par $ad-bc$. S'il est non nul, la matrice est inversible. S'il vaut $0$, elle écrase au moins une direction.

Matrice : lire lignes et colonnes

Une matrice est un tableau de nombres. On l'utilise pour décrire un système d'équations ou une transformation linéaire, c'est-à-dire une règle qui envoie un vecteur vers un autre sans casser la structure des droites et des proportions.

Par exemple,

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

est une matrice $2 \times 2$ : elle a $2$ lignes et $2$ colonnes. Une matrice peut aussi être rectangulaire, comme $2 \times 3$, mais dans ce cas son déterminant n'est pas défini.

Déterminant : ce que ce nombre dit vraiment

Le déterminant existe seulement pour les matrices carrées. Pour

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix},$$

on a le calcul

$$\det(A) = ad - bc$$

Cette formule est spécifique au cas $2 \times 2$. Pour des matrices plus grandes, la méthode change, mais l'idée reste la même : le déterminant teste si la matrice est dégénérée ou non.

Ce nombre est utile pour deux lectures rapides :

• si $\det(A) \ne 0$, la matrice est inversible ;
• si $\det(A) = 0$, elle ne l'est pas.

Dans le cas d'une matrice $2 \times 2$ vue comme transformation du plan, $|\det(A)|$ mesure le facteur de changement d'aire. Le signe ajoute une information d'orientation : un déterminant négatif correspond à un retournement.

Intuition géométrique sans jargon

Imaginez que la matrice transforme le carré unité du plan. En général, ce carré devient un parallélogramme.

L'aire de ce parallélogramme vaut $|\det(A)|$. Si le déterminant vaut $0$, la figure est aplatie en segment, voire en point. La transformation a perdu une direction, donc on ne peut pas la remonter de façon unique.

C'est pour cela que le test $\det(A)=0$ est si utile : il ne donne pas seulement une valeur, il dit si la matrice écrase l'espace dans au moins une direction.

Exemple complet sur une matrice 2 x 2

Prenons

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$$

Ici, $a=2$, $b=1$, $c=3$ et $d=4$. On applique directement la formule :

$$\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5$$

Comme $\det(A)=5 \ne 0$, la matrice est inversible. Autrement dit, la transformation associée ne perd pas d'information.

Si on la lit géométriquement dans le plan, cette matrice multiplie les aires par $5$. Comme le déterminant est positif, il n'y a pas de retournement d'orientation.

Comparez maintenant avec

$$\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix},$$

alors

$$\det(A) = (2)(2) - (1)(4) = 0$$

La deuxième ligne est le double de la première. Les deux lignes ne donnent donc pas deux directions indépendantes, ce qui explique pourquoi la matrice n'est pas inversible.

Erreurs fréquentes avec les déterminants

La première erreur est de chercher un déterminant pour une matrice non carrée. Un tableau $2 \times 3$ est bien une matrice, mais il n'a pas de déterminant.

La deuxième erreur est d'oublier le signe dans la formule $ad-bc$. Écrire $ad+bc$ donne une valeur fausse, même si tous les coefficients ont été bien recopiés.

La troisième erreur est de croire qu'un déterminant non nul suffit à tout comprendre sur une matrice. Il tranche la question de l'inversibilité, mais il ne résume pas à lui seul tout le comportement de la matrice.

Enfin, un déterminant nul ne veut pas dire que tous les coefficients sont nuls. Cela signifie seulement que les lignes ou les colonnes sont linéairement dépendantes.

Quand on utilise matrices et déterminants

On les rencontre souvent dans les systèmes linéaires. Si la matrice des coefficients est carrée et a un déterminant non nul, le système admet une solution unique. Si le déterminant est nul, il faut une analyse plus fine : il peut y avoir aucune solution ou une infinité.

On les utilise aussi pour décrire des transformations du plan ou de l'espace, tester l'existence d'une inverse, et plus loin pour le changement de variables en analyse.

Essayez un cas proche

Prenez maintenant

$$\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$$

Calculez son déterminant, puis décidez si la matrice est inversible avant de vérifier votre résultat. Si vous voulez prolonger l'idée, essayez ensuite un exemple où une ligne est un multiple de l'autre pour voir tout de suite pourquoi le déterminant devient nul.