Équation du Second Degré — Discriminant & Solutions

Une équation du second degré est une équation de la forme $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \ne 0$. Pour la résoudre sur $\mathbb{R}$, on commence presque toujours par calculer le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$, car son signe donne immédiatement le nombre de solutions réelles.

Équation du second degré : l'essentiel à retenir

Dans $\mathbb{R}$, il y a trois cas.

1. Si $\Delta > 0$, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
2. Si $\Delta = 0$, elle a une solution réelle double.
3. Si $\Delta < 0$, elle n'a pas de solution réelle.

Quand $\Delta \ge 0$, on utilise la formule

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

et, si $\Delta = 0$, elle se simplifie en

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Pourquoi le discriminant est utile

Le discriminant évite de lancer un calcul à l'aveugle. Avant même de chercher les racines, il dit si une solution réelle existe et sous quelle forme.

Il a aussi un sens géométrique. Pour la fonction $y = ax^2 + bx + c$, les solutions de l'équation sont les points où la parabole coupe l'axe des abscisses. Deux intersections si $\Delta > 0$, une seule si $\Delta = 0$, aucune si $\Delta < 0$.

Exemple corrigé : résoudre $x^2 - 5x + 6 = 0$

L'équation est déjà sous la forme standard, donc on lit directement

$$a = 1, \qquad b = -5, \qquad c = 6$$

On calcule ensuite le discriminant :

$$\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Comme $\Delta > 0$, il y a deux solutions réelles distinctes. On applique donc la formule :

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

On obtient

$$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \qquad \text{et} \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

La vérification est rapide :

$$2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0$$

Les deux valeurs conviennent bien.

Les trois cas du discriminant

Si $\Delta > 0$

On a deux solutions réelles distinctes. C'est le cas le plus fréquent dans les exercices d'introduction.

Si $\Delta = 0$

On a une solution double :

$$x = \frac{-b}{2a}$$

Par exemple, $x^2 - 4x + 4 = 0$ donne $\Delta = 0$ et la solution $x = 2$.

Si $\Delta < 0$

Dans $\mathbb{R}$, il n'y a pas de solution réelle. Cette précision est importante : dans $\mathbb{C}$, on peut encore écrire deux solutions complexes.

Erreurs fréquentes avec l'équation du second degré

Oublier que $a \ne 0$

Si $a = 0$, l'équation n'est plus du second degré. Il faut alors changer de méthode.

Perdre le signe de $b$

Dans $x^2 - 5x + 6 = 0$, on a $b = -5$, pas $5$. Une erreur de signe fausse le discriminant puis les solutions.

Dire "aucune solution" au lieu de "aucune solution réelle"

La conclusion dépend du domaine de travail. Sur $\mathbb{R}$, $\Delta < 0$ signifie aucune solution réelle. Sur $\mathbb{C}$, ce n'est plus vrai.

Oublier le $2a$ au dénominateur

Dans

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$$

tout le numérateur est divisé par $2a$.

Quand utilise-t-on cette notion ?

Les équations du second degré apparaissent dès qu'un problème contient un terme au carré. On les rencontre dans l'étude des paraboles, certains problèmes d'aire, des modèles simples de trajectoire et des questions d'optimisation.

Même si votre objectif immédiat est juste de résoudre une équation, cette méthode sert ensuite dans plusieurs chapitres de lycée et de début d'études supérieures.

Pour vous entraîner

Essayez de résoudre

$$2x^2 + 3x - 2 = 0$$

Commencez par identifier $a$, $b$ et $c$, puis calculez $\Delta$ avant d'utiliser la formule. Pour aller un peu plus loin, essayez aussi un exemple où $\Delta = 0$ afin de voir clairement la différence entre les trois cas.