Lineare Gleichungen (Gleichungen 1. Grades)

Eine lineare Gleichung (Gleichung 1. Grades) ist eine Gleichung, in der die Unbekannte nur in der ersten Potenz vorkommt. Die gängigste Form ist

$ax + b = 0$

unter der Bedingung $a \ne 0$. In diesem Fall ist das Ziel, den Wert von $x$ zu finden, der die Gleichung wahr macht.

In der Praxis bedeutet das Lösen dieser Art von Gleichung, die Operationen, die mit $x$ durchgeführt wurden, "rückgängig zu machen", bis die Unbekannte alleine steht. Dabei hältst du das Gleichgewicht der Gleichung aufrecht: Alles, was auf der einen Seite passiert, muss auch auf der anderen Seite passieren.

Was macht eine Gleichung "linear"?

Der entscheidende Punkt ist nicht einfach nur, dass ein Buchstabe vorkommt. Der entscheidende Punkt ist, dass die Unbekannte den Exponenten $1$ hat.

Zum Beispiel sind dies lineare Gleichungen:

• $3x + 4 = 19$
• $7 - 2x = 1$
• $\frac{x}{5} + 6 = 10$

Im Gegensatz dazu ist $x^2 + 3 = 12$ keine lineare Gleichung, da die Unbekannte im Quadrat steht.

Die hilfreichste Intuition

Stell dir die Gleichung wie eine Waage im Gleichgewicht vor. Wenn du $5$ von einer Seite subtrahierst, musst du $5$ von der anderen Seite subtrahieren. Wenn du eine Seite durch $3$ dividierst, musst du auch die andere Seite durch $3$ dividieren.

Diese Vorstellung vermeidet die meisten Fehler. Das Lösen einer Gleichung ist kein "magisches Verschieben" von Termen. Es ist die Anwendung äquivalenter Operationen auf beiden Seiten, bis eine einfache Form erreicht ist.

Gelöstes Beispiel

Löse:

$3x + 5 = 17$

Subtrahiere zuerst $5$ von beiden Seiten:

$3x = 12$

Dividiere nun beide Seiten durch $3$:

$x = 4$

Um das Ergebnis zu prüfen, setze $x = 4$ in die ursprüngliche Gleichung ein:

$3(4) + 5 = 12 + 5 = 17$

Da die Gleichung wahr ist, ist die Lösung korrekt.

Direkte Lösungsform

Wenn die Gleichung bereits in der Form

$ax + b = 0$

mit $a \ne 0$ vorliegt, können wir $x$ isolieren:

$ax = -b$

$x = -\frac{b}{a}$

Diese Formel funktioniert nur, wenn die Gleichung tatsächlich linear ist, das heißt, wenn $a \ne 0$.

Häufige Fehler

Ein häufiger Fehler ist es, das Vorzeichen zu ändern, ohne über die durchgeführte Operation nachzudenken. Anstatt auswendig zu lernen, dass eine Zahl "auf die andere Seite springt und das Vorzeichen wechselt", ist es sicherer zu sagen: Ich addiere oder subtrahiere den gleichen Wert auf beiden Seiten.

Ein weiterer Fehler ist es, zu vergessen, alle Terme korrekt zu dividieren. Wenn $3x = 12$, dann $x = 4$, nicht $x = 9$ oder $x = 12 - 3$.

Achte auch auf die Bedingung $a \ne 0$. Wenn in $ax + b = 0$ der Wert $a = 0$ steht, ist die Gleichung nicht mehr linear. Dann ändert sich die Art des Problems.

Wo kommt das vor?

Lineare Gleichungen tauchen in einfachen Problemen zu Preisen, Alter, Entfernung, Einheitenumrechnungen und Mengenvergleichen auf. Immer wenn eine lineare Beziehung zwischen einer Unbekannten und bekannten Zahlen besteht, wird dieses Modell verwendet.

Sie bilden zudem die Grundlage für viele folgende Themen der Algebra, da sie das Verständnis von Äquivalenz und das Isolieren von Variablen trainieren.

Probiere es selbst aus

Löse $5x - 8 = 22$ und überprüfe anschließend das Ergebnis, indem du es in die Ausgangsgleichung einsetzt. Wenn du einen Schritt weiter gehen willst, erstelle selbst eine Gleichung vom Typ $ax + b = 0$ und versuche, die Lösung vorherzusagen, bevor du sie ausrechnest.