Đạo Hàm — Công Thức và Cách Tính

Đạo hàm là công cụ dùng để tính mức thay đổi tức thời của một hàm số. Khi bạn tìm "công thức đạo hàm", điều bạn thường cần là biết dùng quy tắc nào, áp dụng theo thứ tự nào, và tránh lỗi nào dễ mắc. Trên đồ thị, đạo hàm cho biết độ dốc của tiếp tuyến; trong bài toán thực tế, nó cho biết một đại lượng đang thay đổi nhanh đến mức nào tại đúng thời điểm đang xét.

Với hàm $f(x)$, đạo hàm tại $x$ được định nghĩa bởi giới hạn

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

Trong thực hành, người ta hiếm khi tính trực tiếp từ giới hạn này. Phần lớn bài toán phổ thông dùng các công thức đạo hàm cơ bản và vài quy tắc như tích, thương, dây chuyền.

Đạo Hàm Là Gì Và Có Ý Nghĩa Gì

Nếu $s(t)$ là quãng đường theo thời gian, thì $s'(t)$ là vận tốc tức thời. Đây là trực giác quan trọng nhất: đạo hàm không chỉ nói "đã thay đổi bao nhiêu", mà nói "đang thay đổi ngay lúc này".

Trên đồ thị, dấu của đạo hàm giúp đọc hành vi của hàm số:

• Nếu $f'(x) > 0$, hàm đang tăng tại điểm đó.
• Nếu $f'(x) < 0$, hàm đang giảm tại điểm đó.
• Nếu $f'(x) = 0$, hàm có thể có điểm cực trị hoặc chỉ là điểm nằm ngang. Kết luận nào đúng còn phụ thuộc vào vùng lân cận của điểm đó.

Công Thức Đạo Hàm Cơ Bản Cần Nhớ

Đây là các công thức xuất hiện nhiều nhất khi học đạo hàm ở bậc phổ thông và đầu đại học.

Hàm Hằng

Nếu $f(x)=c$ với $c$ là hằng số, thì

$$f'(x)=0$$

Quy Tắc Lũy Thừa

Với số mũ thực quen thuộc trong các bài đại số, nếu $f(x)=x^n$ thì

$$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$

Ví dụ: $\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4$.

Nhân Với Hằng Số

$$\frac{d}{dx}(c f(x))=c f'(x)$$

Ví dụ: $\frac{d}{dx}(7x^3)=21x^2$.

Tổng Và Hiệu

$$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}(f(x)-g(x))=f'(x)-g'(x)$$

Quy Tắc Tích

Nếu $y=f(x)g(x)$, thì

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

Quy Tắc Thương

Nếu $g(x) \ne 0$, thì

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Điều kiện $g(x) \ne 0$ là bắt buộc, vì biểu thức gốc đã không xác định khi mẫu bằng $0$.

Quy Tắc Dây Chuyền

Nếu $y=f(g(x))$, thì

$$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Đây là quy tắc quan trọng khi có "hàm nằm trong hàm", như $(3x^2-1)^5$ hoặc $\sin(x^2)$.

Các Công Thức Đạo Hàm Thường Gặp

Sau các quy tắc chung, đây là những đạo hàm cơ bản nên nhớ để tính nhanh hơn:

$$\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x$$ $$\frac{d}{dx}(\cos x)=-\sin x$$ $$\frac{d}{dx}(e^x)=e^x$$ $$\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac{1}{x} \quad \text{khi } x>0$$

Công thức cuối cùng đang được viết trong phạm vi số thực. Nếu bài toán chưa thỏa điều kiện $x>0$, bạn không nên dùng nó một cách máy móc.

Ví Dụ Tính Đạo Hàm Bằng Quy Tắc Dây Chuyền

Xét hàm

$$y=(3x^2-1)^5$$

Đây là một hàm hợp: bên ngoài là lũy thừa bậc $5$, bên trong là $3x^2-1$. Vì vậy quy tắc chính cần dùng là quy tắc dây chuyền.

Bước 1. Lấy đạo hàm của hàm bên ngoài, giữ nguyên phần bên trong:

$$\frac{d}{dx}\left((3x^2-1)^5\right)=5(3x^2-1)^4 \cdot \frac{d}{dx}(3x^2-1)$$

Bước 2. Lấy đạo hàm của phần bên trong:

$$\frac{d}{dx}(3x^2-1)=6x$$

Bước 3. Nhân lại:

$$y'=5(3x^2-1)^4 \cdot 6x$$ $$y'=30x(3x^2-1)^4$$

Điểm mấu chốt là bạn không được dừng ở $5(3x^2-1)^4$. Nếu làm vậy, bạn đã quên đạo hàm của hàm bên trong là $6x$.

Lỗi Thường Gặp Khi Tính Đạo Hàm

Quên Quy Tắc Dây Chuyền

Đây là lỗi phổ biến nhất. Với $(u(x))^n$, bạn không chỉ lấy ra $n(u(x))^{n-1}$, mà còn phải nhân với $u'(x)$.

Nhầm Quy Tắc Tích

Nhiều người viết sai

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g'(x)$$

Điều này sai trong đa số trường hợp. Công thức đúng là $f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$.

Dùng Công Thức Nhưng Quên Điều Kiện

Ví dụ, với $\frac{f(x)}{g(x)}$, bạn phải để ý chỗ $g(x)=0$. Với $\ln x$, trong phạm vi số thực thì chỉ xét khi $x>0$.

Nghĩ Rằng Đạo Hàm Bằng 0 Là Kết Luận Cuối

Nếu $f'(a)=0$, bạn mới chỉ biết điểm $a$ là ứng viên cho cực trị hoặc điểm dừng. Muốn kết luận chắc hơn, cần xét thêm dấu của đạo hàm hoặc thông tin khác về hàm số.

Khi Nào Cần Dùng Đạo Hàm

Đạo hàm xuất hiện khi bạn cần hiểu sự thay đổi thay vì chỉ nhìn giá trị.

• Trong vật lý, nó liên hệ vị trí, vận tốc và gia tốc.
• Trong tối ưu, nó giúp tìm điểm cực đại và cực tiểu.
• Trong khảo sát hàm số, nó giúp biết hàm tăng giảm ở đâu.
• Trong kinh tế, nó có thể mô tả chi phí cận biên hoặc doanh thu cận biên, nếu biến số và mô hình đã được xác định rõ.

Tự Kiểm Tra Với Một Bài Tương Tự

Hãy thử tính đạo hàm của

$$(x^2+4)^3$$

trước khi nhìn lời giải ở nơi khác. Nếu bạn làm đúng, kết quả sẽ có đạo hàm của lớp bên ngoài nhân với đạo hàm của biểu thức bên trong. Sau đó, bạn có thể thử thêm $x^2 \sin x$ để xem khi nào cần đổi sang quy tắc tích.