Ki Kare Testi

Ki kare testi, kategorik sayım verilerinin bir modelin yalnızca şansa bağlı olarak bekleyeceğinden fazla sapıp sapmadığını kontrol eder. Ortalamalar ya da ham ölçümler için değil, kategorilerdeki sayımlar için kullanılır.

Temel fikir basittir: gözlemlediğiniz değerleri, sıfır hipotezi doğru olsaydı bekleyeceğiniz değerlerle karşılaştırırsınız. Farklar yeterince büyükse, ki kare istatistiği büyür ve veriler bu sıfır modele karşı kanıt sayılır.

Test Aslında Neyi Karşılaştırır

En yaygın düzende, her kategori için gözlenen sayılar $O$ ve beklenen sayılar $E$ vardır. Test istatistiği şöyledir:

$$\chi^2 = \sum \frac{(O - E)^2}{E}$$

Gözlenen sayılar beklenen sayılardan daha fazla uzaklaştıkça bu sayı büyür. Daha büyük uyumsuzluklar daha fazla ağırlık taşır ve beklenen sayısı daha büyük olan kategoriler buna göre ölçeklenir.

Beklenen sayılar rastgele tahmin edilmez. Bunlar sıfır hipotezinden gelir. Uyum iyiliği testinde sıfır hipotezi, kategorilerin eşit olasılıklı olduğunu söyleyebilir. Bağımsızlık testinde ise sıfır hipotezi, iki kategorik değişkenin ilişkisiz olduğunu söyler.

İki Yaygın Tür

"Ki kare testi" ifadesi genellikle şunlardan birini anlatır:

1. Bir uyum iyiliği testi; bu, tek bir kategorik değişkenin iddia edilen bir dağılıma uyup uymadığını sorar.
2. Bir bağımsızlık testi; bu, bir kontenjans tablosunda iki kategorik değişkenin ilişkili olup olmadığını sorar.

Her iki durumda da aynı istatistik ailesi kullanılır, ancak beklenen sayıların nasıl hesaplandığı testin türüne bağlıdır.

Çözümlü Örnek: Uyum İyiliği

Bir kafenin, üç içecek boyutunun eşit sıklıkta seçilip seçilmediğini bilmek istediğini düşünün. $60$ siparişte gözlenen sayılar şöyledir:

• Küçük: $26$
• Orta: $18$
• Büyük: $16$

Sıfır hipotezi üç boyutun da eşit olasılıklı olduğunu söylüyorsa, her kategoride beklenen sayı

$$E = \frac{60}{3} = 20$$

olur.

Şimdi istatistiği hesaplayalım:

$$\chi^2 = \frac{(26-20)^2}{20} + \frac{(18-20)^2}{20} + \frac{(16-20)^2}{20}$$ $$= \frac{36}{20} + \frac{4}{20} + \frac{16}{20}$$ $$= 1.8 + 0.2 + 0.8 = 2.8$$

Bu, tek başına nihai sonuç değil, test istatistiğidir. $\chi^2 = 2.8$ değerini uygun serbestlik derecesine sahip bir ki kare dağılımıyla karşılaştırmanız gerekir. Burada serbestlik derecesi $3 - 1 = 2$ olur; çünkü üç kategori vardır ve veriden hiçbir parametre tahmin edilmemiştir. $df = 2$ için, $2.8$ istatistiği $5\%$ düzeyinde eşit tercih varsayımına karşı güçlü bir kanıt değildir.

Pratik yorum şudur: sayımlar tam eşitlikten farklıdır, ancak yalnızca bu örnekleme dayanarak gerçek tercihlerin eşit olmadığını güvenle söyleyecek kadar farklı değildir.

Test Ne Zaman Anlamlıdır

Şu koşulların hepsi doğruysa ki kare testi kullanın:

1. Veriniz, kategorilerdeki sayımlardan oluşuyorsa.
2. Gözlemler bağımsızsa ya da kullandığınız model için buna yeterince yakınsa.
3. Kullanmayı planladığınız ki kare yaklaşımı için beklenen sayılar çok küçük değilse.

Birçok giriş düzeyi durumda, beklenen sayıların her kategoride en az yaklaşık $5$ olması gerektiği şeklinde bir pratik kural kullanılır. Bu evrensel bir yasa değildir, ama yararlı bir uyarı işaretidir.

Yaygın Hatalar

1. Testi kategori sayımları yerine ortalamalara, ölçümlere veya yüzdelere uygulamak.
2. Gözlenen sayıları beklenen sayılar gibi ele almak. Beklenen sayılar sıfır hipotezinden gelmelidir.
3. Küçük beklenen sayıları göz ardı etmek; bu, olağan ki kare yaklaşımını güvenilmez hâle getirebilir.
4. "İstatistiksel olarak anlamlı" ifadesinin "uygulamada önemli" anlamına geldiğini düşünmek. Test yalnızca sıfır modele karşı kanıtı değerlendirir.

Nerelerde Karşınıza Çıkar

Ki kare testleri anketlerde, genetikte, kalite kontrolde, pazar araştırmasında ve sonuçların kategorilere ayrıldığı her durumda karşınıza çıkar. Özellikle asıl sorunun bir örüntünün şaşırtıcı olup olmadığı ya da iki kategorik değişkenin ilişkili görünüp görünmediği olduğu durumlarda çok yaygındır.

Veri kategorik değil de sayısalsa, genellikle başka bir araç daha uygundur. Örneğin ortalamaları karşılaştırmak çoğu zaman bunun yerine bir $t$ testi ya da ANOVA'ya götürür.

Kendi Versiyonunuzu Deneyin

Kategorik sayımlardan oluşan küçük bir tablo alın ve herhangi bir hesap yapmadan önce sıfır hipotezini yazın. Bu tek adım, ki kare problemlerindeki en büyük hatayı genellikle önler: doğru formülü yanlış beklenen sayılarla kullanmak.