AYT Matematik Formüller

AYT matematik formülleri en hızlı şekilde, hangi konuda hangi bağıntının işe yaradığını görmek için kullanılır. En verimli yaklaşım formülü tek başına ezberlemek değil, hangi koşulda geçerli olduğunu ve soruda neyi hızlandırdığını bilmektir.

Aşağıdaki liste tam bir ders kitabı özeti değil, AYT'de en çok geri dönülen başlıkların pratik bir formül föyüdür. Özellikle trigonometri, logaritma, türev, integral, analitik geometri ve sayma-olasılık tarafında temel bağıntıları bir arada tutar.

En Sık Kullanılan AYT Matematik Formülleri

Cebir ve İkinci Derece

Konu	Formül	Not
Özdeşlik	$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$	Açılım sorularında temel kalıp
Özdeşlik	$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$	Orta terimin işaretine dikkat
Özdeşlik	$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$	Çarpanlara ayırmada çok kullanılır
İkinci derece denklem	$\Delta = b^2 - 4ac$	$ax^2+bx+c=0$ ve $a \ne 0$ için
Kökler toplamı	$x_1+x_2=-\frac\{b\}\{a\}$	Denklem $ax^2+bx+c=0$ biçimindeyse
Kökler çarpımı	$x_1x_2=\frac\{c\}\{a\}$	Aynı koşul geçerlidir

Diskriminant yorumu da önemlidir: $\Delta > 0$ ise iki farklı reel kök, $\Delta = 0$ ise çift katlı reel kök, $\Delta < 0$ ise reel kök yoktur.

Trigonometri

Konu	Formül	Koşul
Temel bağıntı	$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$	Her açı için
Tanjant tanımı	$\tan x = \frac\{\sin x\}\{\cos x\}$	$\cos x \ne 0$
Temel bağıntı	$1+\tan^2 x = \frac\{1\}\{\cos^2 x\}$	$\cos x \ne 0$
Çift açı	$\sin 2x = 2\sin x \cos x$	Standart çift açı formülü
Çift açı	$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$	Eşdeğer biçimleri de vardır
Toplam fark	$\sin(a \pm b)=\sin a \cos b \pm \cos a \sin b$	İşaretleri koruyun
Toplam fark	$\cos(a \pm b)=\cos a \cos b \mp \sin a \sin b$	Artı ve eksi durumu karışır

$\cos 2x$ için sık kullanılan iki eşdeğer yazım daha vardır:

$$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$$

Bu üç biçimden hangisinin hızlı olacağı, soruda hangi bilginin verildiğine bağlıdır.

Logaritma ve Üslü İfadeler

Konu	Formül	Koşul
Çarpım	$\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y$	$a>0$, $a \ne 1$, $x>0$, $y>0$
Bölüm	$\log_a\left(\frac\{x\}\{y\}\right)=\log_a x-\log_a y$	Aynı koşullar ve $y>0$
Kuvvet	$\log_a(x^k)=k\log_a x$	$x>0$
Taban değiştirme	$\log_a x=\frac\{\log_b x\}\{\log_b a\}$	$a,b>0$, $a,b \ne 1$, $x>0$
Üslü denklem	$a^m \cdot a^n = a^\{m+n\}$	Aynı taban
Üslü denklem	$(a^m)^n = a^\{mn\}$	Tanımlı olduğu yerde

Logaritmada en çok hata tanım kümesinde yapılır. Logaritmanın içi pozitif olmalıdır ve taban ne $0$ ne de $1$ olabilir.

Türev

Konu	Formül	Not
Kuvvet kuralı	$(x^n)' = nx^\{n-1\}$	Gerçek sayı üslerde uygun tanım aralığında
Sabit	$(c)' = 0$	$c$ sabittir
Toplam	$(f+g)' = f' + g'$	Terim terim uygulanır
Çarpım	$(fg)' = f'g + fg'$	İki fonksiyonun çarpımı
Bölüm	$\left(\frac\{f\}\{g\}\right)' = \frac\{f'g-fg'\}\{g^2\}$	$g \ne 0$
Trigonometrik türev	$(\sin x)'=\cos x$	Kalkulusta standart olarak radyan
Trigonometrik türev	$(\cos x)'=-\sin x$	Aynı not geçerli
Logaritmik türev	$(\ln x)'=\frac\{1\}\{x\}$	$x>0$

Türev sorularında formül kadar yorum da önemlidir: $f'(x)$, fonksiyonun o noktadaki anlık değişim hızını ve eğimini verir.

İntegral

Konu	Formül	Koşul
Kuvvet kuralı	\int x^n \, dx = \frac\{x^\{n+1\}}\{n+1\} + C	$n \ne -1$
Özel durum	$\int \frac{1}{x} , dx = \ln	x
Trigonometrik integral	$\int \cos x \, dx = \sin x + C$	Standart temel integral
Trigonometrik integral	$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$	İşarete dikkat
Belirli integral	$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$	$F'=f$ ise

Belirsiz integralde $+C$ sabitini yazmamak klasik bir puan kaybıdır.

Analitik Geometri

Konu	Formül	Not
İki nokta arası uzaklık	$d=\sqrt\{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\}$	Koordinat düzlemi
Orta nokta	$M\left(\frac\{x_1+x_2\}\{2\},\frac\{y_1+y_2\}\{2\}\right)$	Doğru parçasının ortası
Eğim	$m=\frac\{y_2-y_1\}\{x_2-x_1\}$	$x_2 \ne x_1$
Doğru denklemi	$y-y_1=m(x-x_1)$	Nokta-eğim formu
Çember	$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	Merkez $(a,b)$, yarıçap $r$

Analitik geometride formül seçimi genelde verilen bilgiye bağlıdır. İki nokta verildiyse önce eğim ya da uzaklık formülü, merkez ve yarıçap verildiyse çember denklemi öne çıkar.

Permütasyon, Kombinasyon ve Olasılık

Konu	Formül	Koşul
Faktöriyel	$n! = n(n-1)(n-2)\cdots 1$	$n$ negatif olmayan tam sayı
Permütasyon	$P(n,r)=\frac\{n!\}\{(n-r)!\}$	$0 \le r \le n$
Kombinasyon	$C(n,r)=\frac\{n!\}\{r!(n-r)!\}$	$0 \le r \le n$
Kombinasyon özelliği	$C(n,r)=C(n,n-r)$	Simetri özelliği
Olasılık	P(A)=\frac\{\text\{istenen durum\}}\{\text\{tüm durum\}}	Tüm durumlar eş olasılıklıysa

Olasılıkta bu kısa formül ancak eş olasılıklı model kurulduğunda doğrudan çalışır. Soruda seçim sırası, tekrar ya da koşullu durum varsa önce örnek uzayı doğru kurmak gerekir.

Formüller Nasıl Daha Hızlı Hatırlanır

Formülleri tek tek ezberlemek yerine kümeler halinde tutmak daha kalıcı olur. Örneğin trigonometrik bağıntıları "temel bağıntı, toplam-fark, çift açı" diye; türev ve integrali ise "kuvvet, çarpım-bölüm, temel trigonometrik" diye ayırmak çalışmayı kolaylaştırır.

İkinci önemli nokta, her formülün yanında küçük bir koşul notu bırakmaktır. Logaritmada taban şartı, olasılıkta eş olasılık, eğimde paydanın sıfır olmaması, integralde $+C$ gibi ayrıntılar aslında formülün kendisi kadar önemlidir.

Tek Bir Güçlü Örnek

Soru: $\sin x = \frac{3}{5}$ ve $\cos x = \frac{4}{5}$ ise $\sin 2x$ kaçtır?

Burada en hızlı seçim çift açı formülüdür:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

Verilenleri doğrudan yerleştiririz:

$$\sin 2x = 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$$

Sonuç:

$$\sin 2x = \frac{24}{25}$$

Bu örnek küçük görünür ama önemli bir alışkanlık kazandırır: önce hangi formülün soruyu tek adımda sadeleştirdiğini seçmek gerekir. Aynı soruda gereksiz dönüşümler yapmak zaman kaybettirir.

Sık Yapılan Hatalar

1. Koşulu unutarak formül kullanmak. Özellikle logaritma, eğim, tanjant ve olasılık sorularında bu hata çok görülür.
2. Trigonometrik formüllerde işaret karıştırmak. $\cos(a \pm b)$ ve $\sin(a \pm b)$ kalıpları burada en hassas yerdir.
3. İkinci derece denklemde $b$ katsayısının işaretini yanlış almak. Bu hata hem diskriminantı hem kökleri bozar.
4. Türev ve integral sorularında temel işlem kurallarını atlamak. Çarpım ve bölüm türevi doğrudan terim terim alınmaz.
5. Belirsiz integralde $+C$ yazmamak.
6. Olasılık sorusunda tüm durumlar eş olasılıklı değilken doğrudan $\frac{\text{istenen}}{\text{tüm durum}}$ yazmak.

Bu Formüller Ne Zaman Kullanılır

AYT'de bu formüller tek başına değil, yorum gerektiren soruların içinde kullanılır. Bir soru size doğrudan "formülü yaz" demez; bunun yerine kökler toplamı, grafik yorumu, alan, değişim hızı ya da olasılık modeli üzerinden doğru bağıntıyı seçmenizi ister.

Bu yüzden iyi bir formül listesi, yalnızca sembolleri değil hangi başlıkta hangi kısa yolun öne çıktığını da göstermelidir. Kendi tekrar notlarınızı çıkarırken her formülün yanına bir mini örnek eklemek bu yüzden çok işe yarar.

Kendi Versiyonunu Dene

Kendi AYT formül föyünü bir sayfaya indirmeyi deneyin. Her konu için en fazla üç ana formül yazın ve yanına tek satırlık kullanım şartı ekleyin. Sonra bu listedeki formüllerden biriyle benzer bir soruyu çözüp gerçekten aklınızda kalıp kalmadığını kontrol edin.