Karnaugh Haritası — K-Map Sadeleştirme Rehberi

Karnaugh haritası ya da K-map, bir Boole ifadesini elde uzun uzun cebir yapmadan sadeleştirmek için kullanılan bir tablodur. Doğruluk tablosundaki çıktı değerlerini bu tabloya yerleştirir, komşu $1$'leri gruplar ve sonra her grup için daha basit bir terim yazarsınız.

Buradaki koşul önemlidir: K-map'ler en çok küçük fonksiyonlarda pratiktir; genellikle iki, üç veya dört değişken için kullanılır. Değişken sayısı arttıkça haritayı okumak zorlaşır ve genelde başka yöntemler daha uygun olur.

Karnaugh Haritası Ne Gösterir

Bir K-map, doğruluk tablosuyla aynı bilgiyi içerir; ancak hücreleri normal ikili sıraya göre değil, Gray kod sırasına göre düzenler. Bu düzenleme sayesinde komşu hücreler tam olarak bir değişkende farklı olur.

Asıl önemli nokta bu tek değişken farkıdır. Eğer iki komşu hücre de $1$ ise, değişen değişken sadeleştirilmiş terimden çıkarılabilir.

Gruplama Değişkenleri Nasıl Ortadan Kaldırır

Görsel kural, şu tür Boole özdeşliklerinden gelir:

$$XY + X\overline{Y} = X$$

Bu iki terim yalnızca $Y$ değişkeninde farklıdır; bu yüzden $Y$ yok olur ve ortak kısım olan $X$ kalır. K-map, bu sadeleşme desenini doğrudan tablo üzerinde görmenizi sağlar.

Karnaugh Haritası Örneği

Diyelim ki

$$F(A,B,C) = \sum m(1,3,4,5,7)$$

Bu, $F=1$ olduğu mintermlerin $1$, $3$, $4$, $5$ ve $7$ olduğu anlamına gelir.

$3$ değişkenli bir K-map için satırlarda $A$, sütunlarda ise Gray kod sırasıyla $00$, $01$, $11$, $10$ olacak şekilde $BC$ kullanın:

$$\begin{array}{c|cccc} A \backslash BC & 00 & 01 & 11 & 10 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \end{array}$$

En büyük geçerli grupla başlayın. Ortadaki iki sütundaki dört tane $1$ tek bir grup oluşturur. Bu dört hücrede $C=1$ sabit kalırken $A$ ve $B$ değişir; dolayısıyla bu grup şu ifadeye sadeleşir:

$$C$$

Hâlâ kapsanmamış bir $1$ vardır: minterm $4$, yani $(A,B,C)=(1,0,0)$. Bunu komşu minterm $5$ ile eşleştirin; onun değeri de $(1,0,1)$'dir.

Bu ikilide $A=1$ ve $B=0$ sabit kalırken $C$ değişir; bu yüzden ikili şu ifadeye sadeleşir:

$$A\overline{B}$$

Dolayısıyla sadeleştirilmiş ifade şudur:

$$F(A,B,C) = C + A\overline{B}$$

Bu daha kısa ifade, başlangıçtaki minterm listesinin eşdeğeridir.

Geçerli K-Map Grupları İçin Kurallar

Boyutları ikinin kuvveti olan gruplar kullanın: $1$, $2$, $4$, $8$ vb.

Olabildiğince büyük geçerli grupları kullanın. Daha büyük gruplar genellikle daha fazla değişkeni ortadan kaldırır.

Haritanın kenarlardan sarıldığını unutmayın. Sol ve sağ kenarlar komşudur; üst ve alt kenarlar da komşudur.

Çapraz hücreler komşu değildir.

Daha büyük veya daha basit bir gruplama oluşturmaya yardımcı oluyorsa örtüşmeye izin verilir.

Yaygın Karnaugh Haritası Hataları

Normal İkili Sıra Kullanmak

Satırları veya sütunları $00$, $01$, $10$, $11$ diye etiketlerseniz komşuluk yanlış olur. K-map'lerde mutlaka Gray kod sırası kullanılmalıdır; böylece komşu hücreler yalnızca bir bitte farklı olur.

Üçlü Gruplar Oluşturmak

Üç hücrelik bir grup asla geçerli değildir. Grup boyutu ikinin kuvveti olmalıdır.

Kenardan Sarılan Komşuluğu Gözden Kaçırmak

En iyi sadeleştirmelerden bazıları, haritanın karşı kenarlarındaki hücreleri kullanır. Sarılma kuralını unutursanız, cevabınız çoğu zaman gerekenden daha uzun olur.

Her $1$'i Tam Olarak Bir Gruba Zorla Yerleştirmek

Bu bir kural değildir. Bir hücreyi yeniden kullanmak, daha büyük bir grup ve daha kısa bir son ifade elde etmenin en iyi yolu olabilir.

Karnaugh Haritası Ne Zaman Kullanılır

K-map'ler, Boole sadeleştirmesini görsel bir sürece dönüştürdükleri için sayısal mantık ve giriş düzeyi bilgisayar mühendisliğinde yaygındır. Özellikle bir mantık devresini çizmeden veya gerçekleştirmeden önce daha basit bir toplam-çarpım ifadesi elde etmek istediğinizde çok kullanışlıdır.

Sezgi geliştirmek için de faydalıdır. Daha büyük tasarımları yazılım halletse bile, K-map öğrenmek bazı Boole terimlerinin neden birleştiğini, bazılarının ise neden birleşmediğini görmeyi kolaylaştırır.

Benzer Bir Soru Deneyin

$F(A,B,C)=\sum m(0,2,4,6,7)$ ifadesini kendi başınıza sadeleştirmeyi deneyin. Haritayı çizin, önce en büyük geçerli grupları oluşturun ve sonra her grupta sabit kalan değişkenleri bırakın.

Bir adım daha ileri gitmek isterseniz, don't-care değerleri içeren bir sürümü deneyin ve onları yalnızca daha büyük bir geçerli grup oluşturmaya yardımcı olduklarında kullanın.