วงจร RC — ค่าคงตัวเวลา

ค่าคงตัวเวลา RC บอกว่าวงจรตัวต้านทาน-ตัวเก็บประจุตอบสนองเร็วแค่ไหน ในกรณีอุดมคติอันดับหนึ่ง จะได้ว่า

$$\tau = RC$$

ถ้าค่าความต้านทาน $R$ หรือค่าความจุไฟฟ้า $C$ มากขึ้น การตอบสนองจะช้าลง ดังนั้น $\tau$ จึงเป็นตัวกำหนดสเกลเวลาพื้นฐานของการชาร์จและคายประจุ

ถ้าตัวเก็บประจุเริ่มต้นแบบไม่มีประจุและชาร์จเข้าหาแหล่งจ่ายคงที่ หลังผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา แรงดันของมันจะขึ้นไปถึงประมาณ $63\%$ ของแรงดันสุดท้าย ถ้าเริ่มต้นแบบมีประจุและคายประจุผ่านตัวต้านทาน หลังผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา แรงดันจะลดลงเหลือประมาณ $37\%$ ของแรงดันเริ่มต้น

ค่าคงตัวเวลา RC หมายถึงอะไร

ค่าคงตัวเวลาไม่ใช่เวลาที่ตัวเก็บประจุจะ “ชาร์จเต็ม” แต่เป็นสเกลเวลาตามธรรมชาติของการเปลี่ยนแปลงแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล

สำหรับวงจรชาร์จอุดมคติ แรงดันที่ตัวเก็บประจุจะเพิ่มขึ้นเร็วในช่วงแรก แล้วค่อยๆ ช้าลงเมื่อเข้าใกล้ค่าสุดท้าย สำหรับวงจรคายประจุอุดมคติ แรงดันจะลดลงเร็วในช่วงแรก แล้วค่อยๆ ช้าลงเมื่อเข้าใกล้ $0$

นี่จึงเป็นเหตุผลที่ $\tau$ มีประโยชน์: มันช่วยให้คุณประเมินได้อย่างรวดเร็วว่าวงจรเปลี่ยนแปลงในระดับไมโครวินาที มิลลิวินาที หรือวินาที ก่อนจะคำนวณอย่างละเอียด

สมการการชาร์จและคายประจุของ RC

ถ้าตัวเก็บประจุเริ่มต้นที่ $0\ \mathrm{V}$ และชาร์จผ่านตัวต้านทานจากแหล่งจ่ายคงที่ $V$ แรงดันที่ตัวเก็บประจุคือ

$$V_C(t) = V\left(1 - e^{-t/RC}\right)$$

ถ้าตัวเก็บประจุเริ่มต้นที่แรงดัน $V_0$ และคายประจุผ่านตัวต้านทาน จะได้ว่า

$$V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$$

สูตรเหล่านี้ใช้ได้กับแบบจำลอง RC อุดมคติอันดับหนึ่งมาตรฐาน การจัดวงจรมีผล: ถ้าวงจรมีองค์ประกอบเพิ่มเติม หรือตัวเก็บประจุไม่ได้เห็นค่าความต้านทานสมมูลเดียวกัน คุณต้องหาค่าความต้านทานสมมูลที่ถูกต้องก่อนใช้ $\tau = RC$

ทำไม $\tau = RC$ จึงสมเหตุสมผลทางกายภาพ

ความต้านทานเป็นตัวควบคุมว่าประจุไฟฟ้าจะไหลได้ง่ายแค่ไหน ส่วนความจุไฟฟ้าเป็นตัวกำหนดว่าต้องใช้ประจุมากเท่าไรเพื่อให้แรงดันของตัวเก็บประจุเปลี่ยนไป

ดังนั้นถ้า $R$ มาก กระแสจะถูกจำกัดและตัวเก็บประจุจะเปลี่ยนแปลงช้าลง ถ้า $C$ มาก ก็ต้องใช้ประจุมากขึ้นเพื่อให้แรงดันเปลี่ยนเท่าเดิม ทำให้การตอบสนองช้าลงเช่นกัน เมื่อนำทั้งสองมาคูณกัน จึงได้สเกลเวลาลักษณะเฉพาะของวงจร

ตัวอย่างทำโจทย์: การชาร์จของวงจร RC

สมมติว่าตัวเก็บประจุ $100\ \mu\mathrm{F}$ ชาร์จผ่านตัวต้านทาน $10\,000\ \Omega$ จากแบตเตอรี่ $9\ \mathrm{V}$ และตัวเก็บประจุเริ่มต้นแบบไม่มีประจุ

ขั้นแรก หาค่าคงตัวเวลา:

$$\tau = RC = (10\,000)(100 \times 10^{-6}) = 1\ \mathrm{s}$$

ดังนั้นวงจรนี้มีการเปลี่ยนแปลงในสเกลเวลาประมาณ $1$ วินาที

ต่อไปหาแรงดันที่ตัวเก็บประจุหลังผ่านไป $1$ วินาที เนื่องจากนี่เป็นกรณีชาร์จแบบอุดมคติ

$$V_C(t) = 9\left(1 - e^{-t/1}\right)$$

เมื่อ $t = 1\ \mathrm{s}$,

$$V_C(1) = 9\left(1 - e^{-1}\right)$$

โดยใช้ $e^{-1} \approx 0.368$,

$$V_C(1) \approx 9(1 - 0.368) = 9(0.632) \approx 5.69\ \mathrm{V}$$

ดังนั้นหลังผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา ตัวเก็บประจุจะมีแรงดันประมาณ $5.7\ \mathrm{V}$ ซึ่งคิดเป็นประมาณ $63\%$ ของแรงดันสุดท้าย $9\ \mathrm{V}$

นี่คือรูปแบบสำคัญที่ควรจำ: หลังผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา ตัวเก็บประจุที่กำลังชาร์จแบบอุดมคติจะไปได้มากกว่าครึ่งทางเล็กน้อยของค่าสุดท้าย แต่ยังไม่ใกล้เสร็จสมบูรณ์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในวงจร RC

คิดว่าหนึ่งค่าคงตัวเวลาหมายถึงชาร์จเต็มแล้ว

หลังผ่านไปหนึ่งค่าคงตัวเวลา ตัวเก็บประจุจะไปถึงเพียงประมาณ $63\%$ ของแรงดันชาร์จสุดท้ายเท่านั้น คำว่า “เกือบเสร็จสมบูรณ์” มักหมายถึงหลายค่าคงตัวเวลา ไม่ใช่แค่หนึ่ง

ลืมแปลงหน่วย

ค่าความจุไฟฟ้ามักให้มาในหน่วย $\mu\mathrm{F}$, $\mathrm{nF}$ หรือ $\mathrm{pF}$ ถ้าคุณไม่แปลงเป็นฟารัด ค่าคงตัวเวลาจะผิดไปมาก

ใช้ค่าความต้านทานผิด

ในวงจรที่ซับซ้อนกว่ากรณีง่ายที่สุด ตัวเก็บประจุอาจไม่ได้เห็นเพียงตัวต้านทานตัวเดียวที่ระบุไว้ คุณต้องใช้ค่าความต้านทานสมมูลที่ตัวเก็บประจุเห็นสำหรับการคำนวณค่าคงตัวเวลา

สับสนระหว่างแรงดันที่ตัวเก็บประจุกับแรงดันที่ตัวต้านทาน

ระหว่างการชาร์จ แรงดันจากแหล่งจ่ายจะถูกแบ่งกันระหว่างตัวต้านทานและตัวเก็บประจุ แรงดันที่ตัวเก็บประจุจะไม่กระโดดขึ้นไปเท่ากับแรงดันแบตเตอรี่ทันทีในแบบจำลอง RC อุดมคติ

ค่าคงตัวเวลา RC ใช้ที่ไหนบ้าง

วงจร RC พบได้ในวงจรตั้งเวลา การทำให้สัญญาณเรียบ วงจรหน่วงเวลา ตัวกรองอย่างง่าย และการวิเคราะห์การตอบสนองชั่วคราว ตัวกรองความถี่ต่ำเป็นกรณีหนึ่งที่พบบ่อย: ตัวเก็บประจุจะทำให้การเปลี่ยนแปลงที่เร็วถูกทำให้เรียบมากกว่าการเปลี่ยนแปลงที่ช้า

สิ่งนี้ยังสำคัญเพราะระบบที่ซับซ้อนกว่านี้จำนวนมากมีพฤติกรรมใกล้เคียงกับการตอบสนองอันดับหนึ่งในบางช่วง เมื่อคุณเข้าใจค่าคงตัวเวลา RC อย่างเป็นธรรมชาติแล้ว ระบบอื่นๆ ที่มีลักษณะ “ค่อยๆ เพิ่มขึ้น แล้วค่อยๆ เข้าสู่สมดุล” ก็จะอ่านและทำความเข้าใจได้ง่ายขึ้น

ลองทำโจทย์วงจร RC ที่คล้ายกัน

คงค่าตัวเก็บประจุและแบตเตอรี่เดิมไว้ แต่เปลี่ยนตัวต้านทานเป็น $20\,000\ \Omega$ จงคำนวณค่าคงตัวเวลาใหม่และแรงดันที่ตัวเก็บประจุหลังผ่านไป $1\ \mathrm{s}$ การเปรียบเทียบเพียงครั้งเดียวนี้จะทำให้เห็นชัดว่าความต้านทานมีผลต่อความเร็วในการชาร์จอย่างไร

ถ้าคุณอยากต่อยอดอีกหนึ่งขั้นที่ดี ลองเปรียบเทียบกับ capacitor และ Kirchhoff's laws เพื่อดูว่าสมการ RC มาจากไหน