กฎของโลปิตาล

กฎของโลปิตาล หรือที่เขียนได้ว่า L'Hopital's rule เป็นวิธีในแคลคูลัสสำหรับลิมิตของเศษส่วนที่เมื่อแทนค่าโดยตรงแล้วได้ $0/0$ หรือ $\infty/\infty$ ถ้านิพจน์ของคุณยังไม่อยู่ในสองรูปนี้ ให้เขียนใหม่ก่อนหรือใช้วิธีหาลิมิตแบบอื่น

เมื่อใดจึงใช้กฎของโลปิตาลได้

เริ่มจากนิพจน์ที่เป็นเศษส่วน:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$$

ถ้าแทนค่าโดยตรงแล้วได้ $0/0$ หรือ $\infty/\infty$ และถ้า $f$ กับ $g$ หาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้ $a$ โดยที่ $g'(x) \ne 0$ ในบริเวณนั้น ทฤษฎีบทนี้อนุญาตให้เปรียบเทียบอนุพันธ์แทนได้:

$$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

โดยที่ลิมิตทางขวาต้องมีอยู่ หรือมีค่าเป็น $+\infty$ หรือ $-\infty$

เงื่อนไขนี้สำคัญมาก กฎของโลปิตาลไม่ใช่ทางลัดสำหรับลิมิตยากทุกข้อ

ทำไมกฎนี้จึงช่วยได้

เมื่อทั้งเศษและส่วนเข้าใกล้ $0$ หรือทั้งคู่โตแบบไร้ขอบเขต ค่าดิบของมันยังบอกอะไรได้ไม่พอ ขั้นตอนการหาอนุพันธ์จะช่วยเปรียบเทียบว่าเศษและส่วนเปลี่ยนแปลงเร็วแค่ไหนใกล้จุดนั้น

จึงเป็นเหตุผลว่าทำไมกฎนี้มักเปลี่ยนลิมิตที่ดูไม่ชัดเจนให้กลายเป็นลิมิตที่อ่านค่าได้ง่าย

ตัวอย่างทำจริง: $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x}$$

เมื่อแทนค่าโดยตรงจะได้

$$\frac{e^0 - 1}{0} = \frac{0}{0},$$

ดังนั้นจึงเข้าเงื่อนไขที่จะใช้กฎนี้ได้

หาอนุพันธ์ของเศษและส่วนหนึ่งครั้ง:

$$\frac{d}{dx}(e^x - 1) = e^x, \qquad \frac{d}{dx}(x) = 1$$

ตอนนี้ลิมิตใหม่คือ

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = 1$$

ดังนั้น

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1$$

ข้อนี้เป็นตัวอย่างต้นแบบที่ดี เพราะการหาอนุพันธ์เพียงครั้งเดียวทำให้ลิมิตง่ายขึ้นทันที

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยในการใช้กฎของโลปิตาล

1. ใช้กฎนี้ก่อนตรวจรูปก่อนว่าเข้าเงื่อนไขหรือไม่ กฎนี้ใช้กับ $0/0$ และ $\infty/\infty$ ไม่ใช่ลิมิตยากทุกข้อ
2. นำไปใช้กับนิพจน์อย่าง $0 \cdot \infty$ หรือ $\infty - \infty$ โดยไม่เขียนใหม่ให้อยู่ในรูปเศษส่วนก่อน
3. ลืมเงื่อนไขของทฤษฎีบท การเป็นรูปกำกวมอย่างเดียวไม่เพียงพอ
4. ใช้กฎนี้ซ้ำทั้งที่การแยกตัวประกอบ การทำให้เป็นเหตุผล หรือการใช้ลิมิตที่ทราบอยู่แล้วจะชัดเจนกว่า

เมื่อนักเรียนมักใช้จริง

ในแคลคูลัสเบื้องต้น กฎของโลปิตาลมักปรากฏบ่อยที่สุดเมื่อลิมิตเกี่ยวข้องกับ:

1. ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล ลอการิทึม และตรีโกณมิติใกล้จุดพิเศษ
2. เศษส่วนที่หลังแทนค่าแล้วยังดูเป็นรูปกำกวมอยู่
3. การเปรียบเทียบอัตราการเติบโต เช่น พหุนามเทียบกับเอ็กซ์โพเนนเชียล

กฎนี้มีประโยชน์มากเป็นพิเศษเมื่อการหาอนุพันธ์เพียงครั้งเดียวทำให้โครงสร้างง่ายขึ้น ถ้าการหาอนุพันธ์ทำให้นิพจน์ยุ่งกว่าเดิม มักมีวิธีอื่นที่ดีกว่า

เช็กสั้น ๆ ก่อนใช้

ก่อนใช้กฎของโลปิตาล ให้ถามตัวเองว่า:

1. เมื่อแทนค่าโดยตรงแล้วได้ $0/0$ หรือ $\infty/\infty$ หรือไม่?
2. นิพจน์ถูกเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนแล้วหรือยัง?
3. ทั้งเศษและส่วนหาอนุพันธ์ได้ในบริเวณใกล้จุดนั้นหรือไม่?
4. การหาอนุพันธ์จะทำให้ลิมิตง่ายขึ้นแทนที่จะยากขึ้นหรือไม่?

ถ้ามีข้อใดตอบว่าไม่ ให้หยุดก่อนแล้วจัดรูปให้ง่ายขึ้นหรือเลือกวิธีอื่น

ลองทำโจทย์ที่คล้ายกัน

ลองพิจารณา

$$\lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x - 1}$$

เมื่อแทนค่าโดยตรงจะได้ $0/0$ และการหาอนุพันธ์หนึ่งครั้งจะเปลี่ยนให้เป็นลิมิตพื้นฐาน ถ้าอยากเปรียบเทียบวิธีที่มีประโยชน์ ลองทำอีกครั้งโดยใช้การประมาณว่า $\ln x \approx x - 1$ เมื่อ $x$ อยู่ใกล้ $1$ แล้วตรวจดูว่าทั้งสองวิธีให้คำตอบตรงกัน