Fórmulas Trigonométricas

As fórmulas trigonométricas mais importantes no começo são a identidade $\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$, as fórmulas de soma e diferença de ângulos e as de ângulo duplo e meio ângulo. Elas servem para simplificar expressões, encontrar valores exatos e transformar uma função trigonométrica em outra.

Uma ideia central resolve boa parte das questões: a fórmula certa depende do formato da expressão. Se há divisão, você precisa verificar quando o denominador é diferente de zero. Se há raiz, como em meio ângulo, o sinal depende do quadrante.

Fórmulas trigonométricas básicas

Para um ângulo $\\theta$,

$$\\tan \\theta = \\frac{\\sin \\theta}{\\cos \\theta} \\quad \\text{quando } \\cos \\theta \\ne 0$$

As relações recíprocas são

$$\\sec \\theta = \\frac{1}{\\cos \\theta}, \\quad \\csc \\theta = \\frac{1}{\\sin \\theta}, \\quad \\cot \\theta = \\frac{\\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

Essas expressões são úteis, mas só fazem sentido quando o denominador não é zero. Esse cuidado evita erros já no começo, principalmente com $\\tan \\theta$, $\\sec \\theta$ e $\\csc \\theta$.

Identidade pitagórica e o que ela permite

A identidade que aparece o tempo todo é

$$\\sin^2 \\theta + \\cos^2 \\theta = 1$$

Dela saem duas consequências muito usadas:

$$1 + \\tan^2 \\theta = \\sec^2 \\theta \\quad \\text{quando } \\cos \\theta \\ne 0$$ $$1 + \\cot^2 \\theta = \\csc^2 \\theta \\quad \\text{quando } \\sin \\theta \\ne 0$$

Na prática, isso ajuda a trocar uma função por outra. Se aparecer $\\sin^2 \\theta$, por exemplo, você pode escrever $1 - \\cos^2 \\theta$. Essa troca é comum em simplificação e em equações trigonométricas.

Soma e diferença de ângulos para achar valores exatos

Quando o ângulo pode ser escrito como soma ou diferença de dois ângulos conhecidos, use:

$$\\sin(\\alpha + \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta + \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\sin(\\alpha - \\beta) = \\sin \\alpha \\cos \\beta - \\cos \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha + \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta - \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\cos(\\alpha - \\beta) = \\cos \\alpha \\cos \\beta + \\sin \\alpha \\sin \\beta$$ $$\\tan(\\alpha + \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha + \\tan \\beta}{1 - \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$ $$\\tan(\\alpha - \\beta) = \\frac{\\tan \\alpha - \\tan \\beta}{1 + \\tan \\alpha \\tan \\beta}$$

Nas fórmulas da tangente, além de $\\tan \\alpha$ e $\\tan \\beta$ precisarem estar definidas, o denominador da fração final também não pode ser zero.

Ângulo duplo e meio ângulo sem errar o sinal

Para dobrar o ângulo:

$$\\sin(2\\theta) = 2 \\sin \\theta \\cos \\theta$$ $$\\cos(2\\theta) = \\cos^2 \\theta - \\sin^2 \\theta = 2\\cos^2 \\theta - 1 = 1 - 2\\sin^2 \\theta$$ $$\\tan(2\\theta) = \\frac{2\\tan \\theta}{1 - \\tan^2 \\theta}$$

Para meio ângulo:

$$\\sin\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 - \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\cos\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\pm \\sqrt{\\frac{1 + \\cos \\theta}{2}}$$ $$\\tan\\left(\\frac{\\theta}{2}\\right) = \\frac{\\sin \\theta}{1 + \\cos \\theta} = \\frac{1 - \\cos \\theta}{\\sin \\theta}$$

O ponto delicado aqui é o sinal $\\pm$. Ele depende do quadrante em que $\\frac{\\theta}{2}$ está, não apenas do valor de $\\cos \\theta$.

Exemplo resolvido: como calcular \\sin 75^\\circ

75^\\circ não é um ângulo notável básico, mas pode ser escrito como 45^\\circ + 30^\\circ. Então:

\\sin 75^\\circ = \\sin(45^\\circ + 30^\\circ)

Aplicando a fórmula da soma:

\\sin 75^\\circ = \\sin 45^\\circ \\cos 30^\\circ + \\cos 45^\\circ \\sin 30^\\circ

Agora substitua os valores conhecidos:

\\sin 45^\\circ = \\frac{\\sqrt{2}}{2}, \\quad \\cos 30^\\circ = \\frac{\\sqrt{3}}{2}, \\quad \\sin 30^\\circ = \\frac{1}{2}

Logo,

\\sin 75^\\circ = \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\right) + \\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)\\left(\\frac{1}{2}\\right) = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}

Esse exemplo mostra a lógica geral: pegue um ângulo menos familiar, decomponha em ângulos conhecidos e aplique a fórmula adequada. O mesmo raciocínio funciona para valores como \\cos 15^\\circ e \\sin 105^\\circ.

Erros comuns com fórmulas trigonométricas

Um erro comum é trocar o sinal em $\\cos(\\alpha + \\beta)$ e $\\cos(\\alpha - \\beta)$. A fórmula do cosseno costuma confundir mais do que a do seno.

Outro erro é esquecer as condições de existência. Se aparecer $\\tan \\theta$, $\\sec \\theta$ ou $\\csc \\theta$, vale conferir antes se a divisão faz sentido.

Também é frequente ler $\\sin^2 \\theta$ como $\\sin(\\theta^2)$. Não é isso. $\\sin^2 \\theta$ significa $(\\sin \\theta)^2$.

Nas fórmulas de meio ângulo, assumir automaticamente o sinal positivo também gera erro. O sinal depende do quadrante, não só da raiz.

Quando usar essas fórmulas trigonométricas

Elas aparecem em trigonometria escolar, geometria analítica, cálculo, física de ondas e problemas com movimento periódico. Mesmo quando o objetivo não é "fazer trigonometria", muitas expressões com ângulos acabam sendo reorganizadas com essas identidades.

Se o exercício pede valor exato, simplificação de expressão ou transformação de uma função trigonométrica em outra, quase sempre há alguma dessas fórmulas por trás.

Tente uma variação do mesmo tipo

Experimente calcular \\cos 15^\\circ escrevendo 15^\\circ = 45^\\circ - 30^\\circ. É um bom teste para ver se a fórmula de diferença realmente ficou clara.