Equação do 2° Grau

Equação do 2° grau é uma equação que pode ser escrita na forma

$$ax^2 + bx + c = 0$$

com $a \ne 0$. Resolver esse tipo de equação significa encontrar os valores de $x$ que fazem a igualdade virar zero.

Na prática, a dúvida mais comum é: como saber se ela terá duas raízes, uma raiz dupla ou nenhuma raiz real? Nos números reais, isso depende do discriminante.

Como identificar uma equação do 2° grau

O sinal mais importante é o expoente $2$ na incógnita. Se a expressão pode ser reorganizada para a forma padrão abaixo, ela é quadrática:

$$ax^2 + bx + c = 0$$

Aqui, $a$, $b$ e $c$ são números reais e $a$ precisa ser diferente de zero. Se $a = 0$, a equação deixa de ser de 2° grau.

Exemplos:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$ $$2x^2 + 3x - 2 = 0$$

Já $3x + 4 = 0$ não é uma equação do 2° grau, porque o maior expoente de $x$ é $1$.

O que o discriminante diz sobre as raízes

Se você olhar para o gráfico da função quadrática, as soluções são os pontos onde a parábola cruza o eixo $x$. O discriminante ajuda a prever quantos cruzamentos reais existem.

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

Se $\Delta > 0$, há duas raízes reais distintas. Se $\Delta = 0$, há uma raiz real dupla. Se $\Delta < 0$, não há raízes reais.

Essa leitura vale quando você está trabalhando nos números reais. Em contextos com números complexos, o caso $\Delta < 0$ ainda pode ter solução.

Exemplo resolvido com fatoração

Resolva a equação:

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Ela já está na forma padrão, então podemos identificar:

$$a = 1,\ b = -5,\ c = 6$$

Antes de usar Bhaskara, vale testar a fatoração. Precisamos de dois números cujo produto seja $6$ e cuja soma seja $-5$. Esses números são $-2$ e $-3$.

Por isso:

$$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$$

A equação vira:

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

Agora aplicamos a propriedade do produto nulo. Se o produto é zero, pelo menos um dos fatores deve ser zero.

$$x - 2 = 0$$ $$x - 3 = 0$$

Logo, as raízes são:

$$x = 2$$ $$x = 3$$

Vale conferir no original:

$$2^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

As duas soluções estão corretas.

Erros comuns ao resolver equação do 2° grau

Não deixar tudo igual a zero

Fatoração e fórmula de Bhaskara partem da forma $ax^2 + bx + c = 0$. Se a equação estiver dividida em dois lados, reorganize antes.

Trocar o sinal de $b$ ou de $c$

Esse erro muda o discriminante e pode levar a raízes totalmente diferentes. Vale a pena identificar os coeficientes com calma antes de substituir na fórmula.

Achar que sempre dá para fatorar

Algumas equações fatoram de forma simples, mas muitas não. Nesses casos, completar quadrados ou usar Bhaskara é mais seguro.

Esquecer de conferir as raízes

Mesmo quando a conta parece certa, substituir as raízes na equação original é a forma mais rápida de confirmar.

Onde a equação do 2° grau aparece

Esse tipo de equação aparece em problemas de área, lançamento de objetos, trajetórias e situações de máximo e mínimo. Sempre que a relação entre as variáveis envolve um termo ao quadrado, a forma quadrática pode aparecer.

Mesmo quando o exercício pede só as raízes, entender a estrutura da equação ajuda a escolher o método mais simples.

Tente um caso parecido

Resolva:

$$x^2 - 7x + 12 = 0$$

Primeiro tente pela fatoração. Depois, resolva a mesma equação com a fórmula de Bhaskara e compare os resultados. Esse é um bom jeito de ver quando a fatoração poupa trabalho e quando a fórmula geral é a melhor escolha.