수능 수학 공식 정리

수능 수학 공식 정리는 공식을 많이 모아 두는 것보다, 자주 나오는 공식과 적용 조건을 빠르게 떠올릴 수 있게 만드는 것이 핵심입니다. 특히 수능형 문제에서는 공식을 아는 것보다 "이 조건에서 이 공식을 써도 되는가"를 먼저 판단해야 실수가 줄어듭니다.

이 페이지는 다항식, 수열, 삼각함수, 미적분, 확률에서 자주 출발점이 되는 공식만 추려 정리합니다. 모든 공식을 다 싣기보다, 문제를 봤을 때 바로 꺼내기 쉬운 뼈대를 만드는 데 집중했습니다.

수능 수학에서 먼저 떠올릴 핵심 공식

다항식과 방정식 공식

식 변형과 근의 성질을 다루는 문제에서는 기본적인 항등식과 이차방정식 공식을 가장 자주 씁니다.

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,\quad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$$ $$a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$$ $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \quad (ax^2+bx+c=0,\ a \ne 0)$$ $$D = b^2-4ac$$

$D$는 근의 개수와 형태를 빠르게 판단할 때 유용합니다. 다만 이 식들은 이차식이라는 조건이 분명할 때만 바로 적용하는 것이 안전합니다.

수열 공식

수열에서는 "몇 번째 항인가"와 "처음부터 어디까지 더한 값인가"를 구분하는 것이 먼저입니다.

$$a_n = a_1 + (n-1)d$$ $$S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = \frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}$$ $$a_n = a_1 r^{n-1}$$ $$S_n = a_1\frac{1-r^n}{1-r} \quad (r \ne 1)$$

등차수열은 차이 $d$, 등비수열은 비율 $r$이 일정하다는 조건이 있어야 합니다. 특히 등비수열의 합 공식은 $r=1$일 때 그대로 쓰면 안 되고, 그 경우에는 $S_n = na_1$로 따로 처리해야 합니다.

삼각함수와 삼각형 공식

삼각형 문항에서는 변과 각이 어떻게 주어졌는지에 따라 공식 선택이 달라집니다.

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$$ $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$ $$\Delta = \frac{1}{2}ab\sin C$$

사인 법칙은 각과 맞은편 변의 대응을 볼 때, 코사인 법칙은 두 변과 끼인각으로 다른 한 변을 구할 때, 넓이 공식은 두 변과 끼인각이 주어졌을 때 특히 강합니다.

수능 미적분에서 자주 쓰는 기본 공식

미적분 문항에서는 복잡한 식보다 기본 도함수와 정적분의 의미를 안정적으로 쓰는 편이 중요합니다.

$$(f(x)+g(x))' = f'(x)+g'(x)$$ $$(x^n)' = nx^{n-1}$$ $$\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a) \quad (F'(x)=f(x))$$

다항함수에서는 위 미분 공식을 항별로 자주 씁니다. 다만 합성함수 해석이나 변화율 문장제가 섞이면, 공식을 바로 대입하기 전에 무엇이 함수값이고 무엇이 변화량인지 먼저 정리해야 합니다.

경우의 수와 확률 공식

확률 단원은 식 자체보다 분모와 분자를 어떻게 세는지가 본질입니다.

$${}_nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$$ $${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$$ $$P(A) = \frac{\text{사건 }A\text{에 해당하는 경우의 수}}{\text{전체 경우의 수}} \quad (\text{모든 결과가 같은 가능도일 때})$$

순서가 중요하면 순열, 중요하지 않으면 조합을 먼저 떠올리면 됩니다. 확률 비율식은 모든 결과를 같은 가능도로 볼 수 있을 때 가장 직접적으로 사용할 수 있습니다.

예제로 보는 공식 선택

두 변의 길이가 각각 $5$, $7$이고 그 사이의 각이 $60^\circ$인 삼각형을 생각해 보겠습니다. 이 정보만으로도 "한 변을 구하라"와 "넓이를 구하라"에 서로 다른 공식을 써야 한다는 점이 분명해집니다.

먼저 나머지 한 변 $c$는 코사인 법칙으로 구합니다.

$$c^2 = 5^2 + 7^2 - 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cos 60^\circ$$ $$c^2 = 25 + 49 - 70 \cdot \frac{1}{2} = 39$$ $$c = \sqrt{39}$$

이제 넓이는 같은 정보에서 바로 다음 공식으로 갑니다.

$$\Delta = \frac{1}{2}ab\sin C$$ $$\Delta = \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot 7 \cdot \sin 60^\circ = \frac{35}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{35\sqrt{3}}{4}$$

핵심은 계산보다 선택입니다. "두 변과 끼인각"이 주어졌다는 조건은 같지만, 한 변을 묻는지 넓이를 묻는지에 따라 코사인 법칙과 넓이 공식으로 갈라집니다.

수능 수학 공식에서 자주 틀리는 포인트

조건 없이 공식부터 쓰기

이차방정식 공식은 $a \ne 0$인 이차식에서, 등비수열 합 공식은 $r \ne 1$일 때, 확률 비율식은 같은 가능도 조건에서 가장 직접적으로 씁니다. 조건을 빼면 공식 자체를 맞게 외워도 오답이 됩니다.

항과 합을 섞어 보기

$a_n$은 한 항이고, $S_n$은 첫째 항부터 $n$번째 항까지의 합입니다. 수열 문제에서 이 둘을 섞어 쓰는 실수가 매우 흔합니다.

끼인각이 아닌 각을 넣기

삼각형 넓이 공식 $\Delta = \frac12 ab\sin C$와 코사인 법칙에서 쓰는 각은 두 변 $a$, $b$ 사이의 각이어야 합니다. 대응이 틀리면 식 전체가 달라집니다.

순열과 조합을 뒤바꾸기

같은 사람을 뽑더라도 줄 세우기까지 중요하면 순열이고, 단순히 선택만 하면 조합입니다. 문제 문장을 읽을 때 "순서가 결과를 바꾸는가"를 먼저 체크해야 합니다.

언제 이 공식 정리가 특히 도움이 되나

이 공식들은 시간이 부족한 실전에서 풀이의 출발점을 빠르게 잡게 해 줍니다. 식을 전개할지, 수열의 일반항을 쓸지, 삼각형에서 법칙을 쓸지, 경우의 수로 셀지를 초반에 결정하면 불필요한 계산을 많이 줄일 수 있습니다.

다만 수능형 문제는 공식만 적어 놓고 끝나는 구조가 드뭅니다. 그래프 해석, 조건 정리, 경우 나누기, 함수의 의미 읽기가 함께 붙는 경우가 많기 때문에 공식은 정답 그 자체라기보다 풀이를 여는 첫 열쇠에 가깝습니다.

직접 정리해 보면 더 오래 남는다

한 장짜리 공식 노트를 만들 때는 공식 오른쪽에 "언제 쓰는가"를 한 줄로 같이 적어 두는 편이 훨씬 효율적입니다. 예를 들어 코사인 법칙 옆에는 "두 변과 끼인각이 있을 때"라고 적어 두면, 단순 암기보다 훨씬 빨리 떠올릴 수 있습니다.

이 페이지의 공식 중 하나를 골라 비슷한 문제를 한 문제만 직접 풀어 보세요. 같은 공식을 다른 문장 속에서 다시 꺼내 보는 연습이, 공식 암기를 실제 풀이 실력으로 바꾸는 가장 빠른 방법입니다.