피타고라스 정리 — 공식, 증명, 예제

피타고라스 정리는 직각삼각형에서 빗변이나 나머지 한 변의 길이를 구할 때 쓰는 공식입니다. 직각변을 $a$, $b$, 빗변을 $c$라고 하면

$$a^2 + b^2 = c^2$$

가 성립합니다. 여기서 중요한 조건은 삼각형이 직각삼각형이어야 한다는 점입니다. 직각의 맞은편 변이 빗변 $c$이고, 이 변이 항상 가장 깁니다.

피타고라스 정리 공식이 뜻하는 것

$a^2$, $b^2$, $c^2$는 각각 변의 길이를 제곱한 값입니다. 그래서 피타고라스 정리는 "두 직각변 위에 만든 정사각형의 넓이 합이 빗변 위에 만든 정사각형의 넓이와 같다"는 말로도 이해할 수 있습니다.

이렇게 보면 왜 식에 제곱이 들어가는지 직관이 생깁니다. 길이 $a+b$를 더하는 정리가 아니라, 제곱한 값의 관계를 말하는 정리라는 점이 핵심입니다.

왜 $a^2 + b^2 = c^2$가 되는가

한 변의 길이가 $a+b$인 큰 정사각형을 생각하고, 그 안에 같은 직각삼각형 4개를 넣어 보겠습니다. 각 삼각형의 넓이는

$$\frac{ab}{2}$$

이므로 네 개의 넓이 합은

$$4 \cdot \frac{ab}{2} = 2ab$$

입니다.

이 배치를 잘 보면 가운데에는 한 변의 길이가 $c$인 작은 정사각형이 남습니다. 따라서 큰 정사각형의 넓이는

$$2ab + c^2$$

로도 쓸 수 있습니다.

한편 큰 정사각형의 넓이는 한 변이 $a+b$이므로

$$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$

입니다.

같은 넓이를 두 방식으로 쓴 것이므로

$$a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2$$

이고, 양변에서 $2ab$를 빼면

$$a^2 + b^2 = c^2$$

를 얻습니다.

피타고라스 정리 예제: $3$, $4$, $5$ 삼각형

직각변이 $3$, $4$인 직각삼각형에서 빗변 $c$를 구해 보겠습니다.

$$3^2 + 4^2 = c^2$$ $$9 + 16 = c^2$$ $$25 = c^2$$

따라서

$$c = 5$$

입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 답은 $5$입니다. 이 예제는 가장 유명한 $3$-$4$-$5$ 직각삼각형으로, 피타고라스 정리를 가장 빠르게 확인할 수 있는 사례입니다.

모르는 변이 빗변이 아닐 때도 식은 그대로 씁니다. 예를 들어 빗변이 $13$, 다른 직각변이 $5$이면

$$b^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144$$

이므로 $b=12$입니다. 이 경우에도 $c$가 가장 긴 변이라는 조건이 먼저 맞아야 합니다.

피타고라스 정리에서 자주 틀리는 부분

1. 직각삼각형이 아닌데 공식을 바로 쓰는 경우
2. 가장 긴 변이 아닌 값을 빗변 $c$로 두는 경우
3. $a^2 + b^2 = c^2$에서 $(a+b)^2 = c^2$처럼 잘못 바꾸는 경우
4. 마지막에 제곱근을 구한 뒤 길이가 될 수 없는 음수까지 답으로 적는 경우

특히 1번과 2번이 가장 흔합니다. 문제를 풀기 전에 "직각인가?"와 "어느 변이 가장 긴가?"만 먼저 확인해도 많은 실수를 막을 수 있습니다.

피타고라스 정리는 어디에 쓰이나

기하 문제에서는 빗변이나 높이 같은 길이를 구할 때 자주 나옵니다. 좌표평면에서 두 점 사이 거리를 구하는 거리 공식도 결국 피타고라스 정리를 그대로 쓴 결과입니다.

또한 건축, 측량, 그래픽스처럼 수직 관계가 분명한 상황에서도 자주 등장합니다. 다만 실제 상황이 직각삼각형으로 모델링될 때만 바로 적용할 수 있습니다.

한 줄로 기억하기

직각삼각형에서만, 두 직각변의 제곱합은 빗변의 제곱과 같습니다.

직접 해보기

직각변이 $6$, $8$인 삼각형의 빗변을 구해 보세요. 계산이 끝나면 $6^2 + 8^2$와 결과의 제곱이 정말 같은지도 확인해 보면 공식이 더 분명하게 남습니다.

다음으로는 좌표평면의 두 점 사이 거리 공식을 풀어 보세요. 피타고라스 정리가 어디에 이어지는지 자연스럽게 연결됩니다.