베이즈 정리 — 공식, 증명과 예제

베이즈 정리는 새로운 증거를 본 뒤 확률을 어떻게 갱신하는지 알려줍니다. $P(B) > 0$이면,

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}$$

이 식은 아주 구체적인 질문에 답합니다. 사건 $B$가 이미 일어났을 때, 이제 사건 $A$가 일어났을 가능성은 얼마나 될까요? 이 아이디어는 의료 검사, 스팸 필터링, 그리고 처음부터 그 사건이 얼마나 흔했는지도 함께 보지 않으면 증거가 오해를 부를 수 있는 모든 상황에서 중요합니다.

쉬운 말로 보는 베이즈 정리 공식

베이즈 정리는 세 가지 요소를 결합합니다.

• 증거를 보기 전에 믿고 있던 값, $P(A)$에서 시작합니다
• 그 증거가 해당 사건과 얼마나 잘 맞는지, $P(B \mid A)$를 봅니다
• 그 증거가 전체적으로 얼마나 흔한지, $P(B)$로 조정합니다

결과인 $P(A \mid B)$를 사후확률이라고 합니다.

공식의 각 부분이 뜻하는 것

다음 식에서

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}$$

$P(A)$는 사전확률입니다. 새로운 증거를 사용하기 전, $A$에 대해 가지고 있던 출발 확률입니다.

$P(B \mid A)$는 가능도입니다. $A$가 참일 때 증거 $B$가 나타날 가능성이 얼마나 되는지를 말합니다.

$P(B)$는 증거 자체의 전체 확률입니다. 어떤 증거는 $A$가 거짓이어도 흔하게 나타날 수 있기 때문에 이 항이 중요합니다.

$P(A \mid B)$는 사후확률입니다. $B$가 일어났다는 사실을 알게 된 뒤 갱신된 $A$의 확률입니다.

분모가 답을 바꾸는 이유

베이즈 정리는 단지 내 가설에 잘 맞는 증거라고 해서 무조건 높게 평가하지 않습니다. 그와 같은 증거가 원래 전반적으로도 자주 나타나는지를 함께 묻습니다.

그래서 분모 $P(B)$가 중요합니다. 그 증거가 많은 경우에 흔하게 나타난다면, 그것을 봤다고 해서 믿음이 크게 바뀌면 안 됩니다. 반대로 $A$가 참일 때를 제외하면 드문 증거라면, 믿음이 크게 바뀔 수 있습니다.

조건부확률에서 바로 나오는 짧은 증명

필요한 곳에서 $P(B) > 0$이고 $P(A) > 0$이라고 가정합시다. 조건부확률의 정의에 의해,

$$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

또한

$$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$

두 번째 식에서,

$$P(A \cap B) = P(B \mid A)P(A)$$

이를 첫 번째 식에 대입하면,

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B)}$$

이것이 바로 베이즈 정리입니다.

베이즈 정리 계산 예제: 양성 의료 검사

어떤 질병이 한 집단의 $1\%$에 영향을 준다고 합시다. 한 검사는 민감도가 $99\%$이고, 위양성률이 $5\%$입니다.

다음과 같이 두겠습니다.

• $D$ = 그 사람이 질병을 가지고 있다
• $+$ = 검사 결과가 양성이다

그러면

$$P(D) = 0.01$$ $$P(+ \mid D) = 0.99$$ $$P(+ \mid D^c) = 0.05$$

우리가 구하고 싶은 것은 $P(D \mid +)$, 즉 검사 결과가 양성일 때 그 사람이 실제로 질병을 가지고 있을 확률입니다.

먼저 양성 결과의 전체 확률을 구합니다. 양성은 두 가지 경우에 생길 수 있습니다. 질병이 있어서 양성이 나오거나, 질병이 없는데도 양성이 나오는 경우입니다.

$$P(+) = P(+ \mid D)P(D) + P(+ \mid D^c)P(D^c)$$ $$P(+) = (0.99)(0.01) + (0.05)(0.99) = 0.0594$$

이제 베이즈 정리를 적용합니다.

$$P(D \mid +) = \frac{P(+ \mid D)P(D)}{P(+)} = \frac{(0.99)(0.01)}{0.0594}$$ $$P(D \mid +) = \frac{0.0099}{0.0594} = \frac{1}{6} \approx 0.167$$

따라서 한 번 양성 판정을 받은 뒤 실제로 질병이 있을 확률은 $99\%$가 아니라 약 $16.7\%$입니다. 검사는 성능이 좋지만 질병 자체가 드물기 때문에, 양성 결과의 대부분은 여전히 질병이 없는 훨씬 더 큰 집단에서 나옵니다.

많은 사람들이 놓치는 핵심은 이것입니다. 검사 성능이 좋아도, 처음부터 질환이 드문 경우 사후확률은 생각보다 높지 않을 수 있습니다.

베이즈 정리의 유용한 두 경우 버전

증거가 서로 여집합 관계인 두 경우 $A$와 $A^c$에서 올 수 있다면,

$$P(B) = P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)$$

이를 베이즈 정리에 넣으면,

$$P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A)P(A)}{P(B \mid A)P(A) + P(B \mid A^c)P(A^c)}$$

두 경우만 있는 문제에서는 이 형태가 가장 실용적인 경우가 많습니다.

베이즈 정리에서 자주 하는 실수

$P(A \mid B)$와 $P(B \mid A)$를 혼동하기

이 두 확률은 보통 같지 않습니다. 질병이 있을 때 양성일 가능성은 매우 높을 수 있지만, 양성이 나왔을 때 실제로 질병이 있을 가능성은 여전히 꽤 낮을 수 있습니다.

기저율을 무시하기

사전확률 $P(A)$는 중요합니다. $A$가 매우 드문 사건이라면, 강한 증거가 있어도 사후확률이 직관만큼 높아지지 않을 수 있습니다.

$P(B)$를 너무 좁게 계산하기

분모는 단순히 남는 항이 아닙니다. 그것은 증거의 전체 확률이며, 여러 경우의 기여를 더해야 하는 경우가 많습니다.

$P(B) = 0$일 때 공식을 사용하기

이 형태의 베이즈 정리는 $P(B) > 0$을 필요로 합니다. 증거의 확률이 $0$이면, 기본 공식으로는 조건부확률 $P(A \mid B)$가 정의되지 않습니다.

베이즈 정리가 쓰이는 곳

베이즈 정리는 의료 검사, 스팸 필터링, 신뢰도 분석, 머신러닝, 과학적 추론에 등장합니다. 각각의 경우에 공통된 아이디어는 같습니다. 새로운 정보가 들어오면 믿음을 갱신하는 것입니다.

특히 사람들은 처음부터 그 사건이 얼마나 흔했는지를 묻지 않은 채 증거에 과하게 반응하는 경향이 있는데, 이럴 때 베이즈 정리는 매우 유용합니다.

비슷한 베이즈 정리 문제를 풀어 보기

같은 의료 검사를 유지하되, 질병 비율을 $1\%$에서 $10\%$로 바꿔 보세요. 민감도와 위양성률은 그대로지만, 사후확률은 크게 달라집니다. 이 버전을 한 번 직접 계산해 보면 왜 사전확률이 중요한지 빠르게 체감할 수 있습니다.