근의 공식: 이차방정식을 푸는 완벽 가이드

이차방정식의 근의 공식, 판별식의 의미, 완전제곱식 유도 과정까지 예제와 함께 단계별로 설명합니다.

근의 공식

모든 이차방정식

ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)

의 해는 다음 근의 공식으로 구할 수 있습니다:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

이 공식 하나로 실근 2개, 중근, 허근 등 모든 경우를 처리할 수 있습니다.

근호 안의 식을 판별식(discriminant)이라 합니다:

D = b^2 - 4ac

판별식의 부호로 근의 종류를 미리 알 수 있습니다:

$2x^2 - 7x + 3 = 0$ 을 풀어보겠습니다.

$a = 2$ , $b = -7$ , $c = 3$ 이므로 판별식을 계산하면:

D = (-7)^2 - 4(2)(3) = 49 - 24 = 25

$D = 25 > 0$ 이므로 서로 다른 두 실근이 존재합니다:

x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 5}{4}

x_1 = \frac{7 + 5}{4} = 3, \qquad x_2 = \frac{7 - 5}{4} = \frac{1}{2}

$x^2 - 6x + 9 = 0$ 을 풀어보겠습니다.

D = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0

중근:

x = \frac{6}{2} = 3

실제로 $x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$ 이므로 당연한 결과입니다.

$x^2 + 2x + 5 = 0$ 을 풀어보겠습니다.

D = 4 - 20 = -16

$D < 0$ 이므로:

x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i

두 근은 $x = -1 + 2i$ 와 $x = -1 - 2i$ 입니다.

근의 공식은 어떻게 나온 걸까요? 일반형에서 완전제곱식을 만들어 유도합니다.

ax^2 + bx + c = 0

양변을 $a$ 로 나눕니다:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

상수항을 우변으로 이항합니다:

x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}

양변에 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ 을 더해 완전제곱식을 만듭니다:

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{b^2}{4a^2} = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}

좌변을 정리하면:

\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

양변에 제곱근을 취합니다:

x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

$x$ 에 대해 정리하면:

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

이차방정식 $ax^2 + bx + c = 0$ 의 두 근을 $x_1$ , $x_2$ 라 하면:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \qquad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

예제 1을 검산해봅시다: $3 + \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = -\frac{-7}{2}$ , $3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$ . 정확합니다.

이차함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 의 그래프는 포물선이며, 꼭짓점의 좌표는:

\left(-\frac{b}{2a},\; f\!\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)

$-\frac{b}{2a}$ 는 두 근의 정확한 중점 — 포물선의 대칭축이 두 근 사이를 지나갑니다.

근의 공식은 항상 사용할 수 있지만, 항상 가장 빠른 방법은 아닙니다:

\boxed{\;x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\;}