積和の公式

積和の公式は、三角関数の積を和または差に書き換える公式です。式変形、積分、波の合成の見通しをよくしたいときによく使います。

まずは4つの基本形だけ押さえれば十分です。

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$$ $$\cos A \sin B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B)-\sin(A-B)\}$$ $$\cos A \cos B = \frac{1}{2}\{\cos(A+B)+\cos(A-B)\}$$ $$\sin A \sin B = \frac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$$

何をしている公式か

見るべき点は、掛け算を足し算と引き算に直していることです。積のままだと扱いにくい式でも、和や差になると加法定理や積分の基本形につなげやすくなります。

たとえば $\sin A \cos B$ はそのままだと1つの角ではありませんが、積和の公式を使うと $(A+B)$ と $(A-B)$ の2つの角の正弦に分かれます。式の構造が見えやすくなるのが利点です。

1つの例で見る

$$\sin 5x \cos 3x$$

を変形してみます。$\sin A \cos B$ の形なので、

$$\sin 5x \cos 3x = \frac{1}{2}\{\sin(5x+3x)+\sin(5x-3x)\}$$ $$= \frac{1}{2}\{\sin 8x+\sin 2x\}$$

これで積が和に変わりました。積分したい場面なら、この形のほうがそのまま項別に扱えます。

加法定理との関係

積和の公式は、加法定理から導けます。たとえば

$$\sin(A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$$ $$\sin(A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B$$

を足すと、

$$\sin(A+B)+\sin(A-B)=2\sin A \cos B$$

となるので、

$$\sin A \cos B = \frac{1}{2}\{\sin(A+B)+\sin(A-B)\}$$

が得られます。他の積和公式も同じ考え方で出せます。

よくある間違い

1. $\sin A \sin B$ の符号を逆にすること。正しくは $\frac{1}{2}\{\cos(A-B)-\cos(A+B)\}$ です。
2. $\cos A \sin B$ と $\sin A \cos B$ を同じ式だと思うこと。順序が変わると $A-B$ の項の符号も変わります。
3. $A-B$ を $B-A$ に入れ替えて、そのまま符号を直さないこと。特に正弦では $\sin(B-A)=-\sin(A-B)$ に注意が必要です。
4. 角度の単位を途中で混ぜること。度数法で始めたのか、弧度法で始めたのかは一貫している必要があります。

いつ使うか

積和の公式は、次のような場面で便利です。

1. 三角関数の式を見やすく整理したいとき
2. $\sin ax \cos bx$ や $\cos ax \cos bx$ を積分したいとき
3. 振動や波で、異なる角周波数の項を和の形で見たいとき
4. 加法定理や和積の公式と行き来しながら式変形したいとき

覚え方のコツ

丸暗記だけに頼るより、まず $\sin(A+B)$ と $\sin(A-B)$ を足し引きして導けることを知っておくほうが安定します。特に $\sin A \cos B$ を基準にすると、残りの公式の形も整理しやすくなります。

試してみる

次は $\cos 7x \cos 2x$ を積和の公式で和に直してみてください。1問だけでも自分で変形すると、どの公式を選ぶべきかがかなりはっきりします。