Formule di probabilita': regole, casi ed esempio

Le formule di probabilita' servono a capire quale calcolo usare quando un problema parla di "non", "oppure", "e" oppure "sapendo che". La formula di base

$$P(A) = \frac{\text{casi favorevoli}}{\text{casi possibili}}$$

vale solo se gli esiti sono finiti ed equiprobabili. Da qui derivano le formule piu' usate per complementare, unione, intersezione e probabilita' condizionata.

Formule di probabilita': quelle da ricordare

1. Probabilita' di un evento semplice

Se gli esiti sono finiti ed equiprobabili,

$$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$

dove $|A|$ e' il numero di casi favorevoli e $|\Omega|$ il numero totale dei casi possibili.

Se gli esiti non hanno tutti la stessa probabilita', questo rapporto non si puo' usare in automatico.

2. Evento complementare

Se vuoi la probabilita' che un evento non accada,

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

E' spesso la via piu' rapida quando contare direttamente il "non" sarebbe scomodo.

3. Unione di due eventi

Per la probabilita' che accada $A$ oppure $B$,

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

La sottrazione finale serve a non contare due volte la parte comune.

Se $A$ e $B$ sono incompatibili, allora $P(A \cap B)=0$ e la formula diventa

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

4. Intersezione di due eventi

La forma generale e'

$$P(A \cap B) = P(A|B)\,P(B)$$

equivalentemente,

$$P(A \cap B) = P(B|A)\,P(A)$$

Se invece $A$ e $B$ sono indipendenti, allora la formula si semplifica in

$$P(A \cap B) = P(A)\,P(B)$$

L'indipendenza va verificata o dichiarata dal problema. Non basta che i due eventi siano diversi, e non coincide con l'incompatibilita'.

5. Probabilita' condizionata

Se il problema dice "sapendo che $B$ e' accaduto", allora

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$

Questa formula richiede $P(B) > 0$.

Come scegliere la formula giusta

Se nel testo compare "non", pensa al complementare. Se compare "oppure", di solito stai cercando un'unione. Se compare "e", spesso serve un'intersezione. Se compare "sapendo che", il segnale piu' forte e' la probabilita' condizionata.

Il passaggio decisivo non e' ricordare i simboli, ma riconoscere la struttura logica della domanda. In molti esercizi la parola chiave ti suggerisce gia' la formula corretta.

Esempio svolto: cuori oppure figura

Estraiamo una carta da un mazzo francese da $52$ carte.

Definiamo gli eventi:

• $A$ = "la carta e' di cuori"
• $B$ = "la carta e' una figura"

Nel mazzo ci sono $13$ carte di cuori e $12$ figure totali. Le figure di cuori sono $3$: fante, donna e re di cuori.

Qui la parola decisiva e' "oppure", quindi serve l'unione:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Calcoliamo ogni pezzo:

$$P(A) = \frac{13}{52}, \qquad P(B) = \frac{12}{52}, \qquad P(A \cap B) = \frac{3}{52}$$

Quindi

$$P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{12}{52} - \frac{3}{52} = \frac{22}{52} = \frac{11}{26}$$

Il punto importante non e' solo il risultato finale. Devi capire perche' bisogna sottrarre $\frac{3}{52}$: quelle tre carte erano state contate sia tra i cuori sia tra le figure.

Dallo stesso scenario puoi leggere anche una probabilita' condizionata. Se sai gia' che la carta estratta e' una figura, la probabilita' che sia di cuori e'

$$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/52}{12/52} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$$

Errori comuni con le formule di probabilita'

1. Usare $P(A)+P(B)$ per un'unione anche quando gli eventi sono compatibili.
2. Confondere eventi incompatibili con eventi indipendenti. Sono idee diverse.
3. Applicare la formula dei casi favorevoli su casi che non sono equiprobabili.
4. Dimenticare che nella probabilita' condizionata il denominatore e' l'evento gia' noto.
5. Ottenere un valore maggiore di $1$ o minore di $0$ e non fermarsi a controllare.

Dove si usano davvero queste formule

Le formule di probabilita' compaiono negli esercizi con dadi, carte, urne, test a risposta multipla e statistica di base. Servono anche come base per argomenti successivi, come distribuzioni discrete, variabili aleatorie e inferenza statistica.

Se il problema diventa piu' complesso, spesso non cambia la logica. Cambia soprattutto il modo in cui descrivi bene gli eventi e controlli le condizioni.

Prova un caso simile

Prova questo: lancia un dado regolare e calcola la probabilita' di ottenere un numero pari oppure maggiore di $4$. Prima definisci gli eventi, poi usa la formula dell'unione e controlla se c'e' una parte comune da sottrarre.

Se vuoi andare oltre, prova una tua versione cambiando il testo dell'esercizio ma lasciando la stessa struttura logica. E' il modo piu' rapido per capire se la formula ti e' davvero chiara.