Integrali — Formule

Le formule degli integrali ti permettono di trovare subito una primitiva quando l'integranda ha una forma standard. Le più usate sono la regola della potenza, il caso speciale di $1/x$, le formule per esponenziali e quelle trigonometriche di base.

Qui trovi quali formule ricordare, quando si possono usare davvero e un esempio svolto senza passaggi inutili. Se la funzione non ha una forma riconoscibile, di solito non basta una formula immediata e serve un altro metodo, come sostituzione o integrazione per parti.

Le formule degli integrali da sapere subito

Queste formule valgono per integrali indefiniti e producono una famiglia di primitive, quindi alla fine compare sempre $+C$.

Regola di linearità

Se $a$ e $b$ sono costanti, allora

$$\int (af(x) + bg(x))\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx$$

Questa regola vale per somme e differenze. Non permette di spezzare un prodotto o un quoziente come se ogni pezzo si integrasse da solo.

Regola della potenza

Per $n \ne -1$,

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Esempio:

$$\int x^4\,dx = \frac{x^5}{5} + C$$

La condizione $n \ne -1$ conta davvero: se $n=-1$, la formula non si puo' usare.

Il caso speciale di 1/x

Quando l'esponente sarebbe $n=-1$, la regola della potenza non si usa. In quel caso

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Questa formula vale sugli intervalli in cui $x \ne 0$.

Esponenziali

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C, \qquad a > 0,\ a \ne 1$$

Formule trigonometriche di base

$$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sec^2 x\,dx = \tan x + C$$ $$\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$$

Perche' queste formule funzionano

Integrare significa cercare una funzione la cui derivata sia quella data. Per questo le formule degli integrali si capiscono meglio se le leggi al contrario rispetto alle derivate.

Per esempio, siccome

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{x^{n+1}}{n+1}\right) = x^n \qquad \text{se } n \ne -1$$

allora la formula della potenza non e' una scorciatoia casuale: e' l'operazione inversa della derivazione in quel caso.

Esempio svolto con piu' formule insieme

Calcola

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x} + 2\cos x\right)\,dx$$

Qui conviene usare la linearita' e integrare ogni termine separatamente, perche' l'integranda e' una somma di forme standard.

Per il primo termine:

$$\int 3x^2\,dx = x^3$$

Per il secondo termine usi il caso speciale $\frac{1}{x}$:

$$\int -\frac{4}{x}\,dx = -4\ln|x|$$

Per il terzo termine:

$$\int 2\cos x\,dx = 2\sin x$$

Quindi

$$\int \left(3x^2 - \frac{4}{x} + 2\cos x\right)\,dx = x^3 - 4\ln|x| + 2\sin x + C$$

Il controllo migliore e' derivare il risultato:

$$\frac{d}{dx}\left(x^3 - 4\ln|x| + 2\sin x + C\right) = 3x^2 - \frac{4}{x} + 2\cos x$$

Quindi la primitiva e' corretta sugli intervalli in cui $x \ne 0$. Questa condizione conta perche' $\ln|x|$ nasce da una funzione che non e' definita in $x=0$.

Errori comuni nelle formule degli integrali

1. Dimenticare $+C$ negli integrali indefiniti.
2. Usare la regola della potenza su $\int \frac{1}{x}\,dx$ invece di usare $\ln|x| + C$.
3. Separare un prodotto come se valesse $\int f(x)g(x)\,dx = \int f(x)\,dx \cdot \int g(x)\,dx$, che in generale è falso.
4. Sbagliare il segno con le funzioni trigonometriche, soprattutto $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$.
5. Scrivere $\ln x$ invece di $\ln|x|$ quando il contesto richiede il valore assoluto.

Quando basta una formula diretta

Le formule dirette si usano quando l'integranda ha gia' una forma standard o la raggiunge dopo una semplificazione breve. Succede spesso con polinomi, esponenziali semplici e funzioni trigonometriche elementari.

Se invece compare un prodotto non banale, una composizione o un denominatore meno immediato, fermarsi e' utile. Forzare una formula sbagliata crea piu' errori che progresso.

Controllo veloce prima di chiudere

Prima di considerare finito un esercizio, controlla:

• ogni termine corrisponde davvero a una formula nota;
• il caso $\frac{1}{x}$ non è stato trattato come una potenza normale;
• c'è il termine $+C$;
• derivando il risultato si torna all'integranda iniziale.

Prova un esercizio simile

Prova ora a calcolare

$$\int \left(5x^4 + \frac{3}{x} - \sin x\right)\,dx$$

Se vuoi andare un passo oltre, prova a risolverlo da solo e poi controlla la tua risposta derivandola. E' il modo piu' rapido per capire se hai scelto la formula giusta.