Equazione di Secondo Grado — Formula e Risoluzione

Per risolvere un'equazione di secondo grado, porta tutto nella forma $ax^2 + bx + c = 0$, individua i coefficienti $a$, $b$ e $c$, calcola il delta $\Delta = b^2 - 4ac$ e poi applica la formula risolutiva. Nei numeri reali, il delta ti dice subito se avrai due soluzioni, una soluzione doppia o nessuna soluzione reale.

Un'equazione di secondo grado si riconosce dalla forma

$$ax^2 + bx + c = 0$$

con $a \ne 0$. La potenza piu' alta dell'incognita e' $2$, quindi il comportamento non e' lineare e le soluzioni vanno cercate con un metodo specifico.

Come riconoscere un'equazione di secondo grado

Prima porta tutto a zero. Solo dopo ha senso leggere bene i coefficienti $a$, $b$ e $c$.

Per esempio,

$$3x^2 + 5x = 2$$

diventa

$$3x^2 + 5x - 2 = 0$$

Questa e' un'equazione di secondo grado perche' il termine di grado piu' alto e' $x^2$ e il suo coefficiente e' $3$, quindi non e' zero. Se durante i passaggi il coefficiente di $x^2$ diventasse $0$, non saresti piu' nel secondo grado.

Formula risolutiva e delta

Quando l'equazione e' nella forma standard $ax^2 + bx + c = 0$, la formula risolutiva e'

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Funziona per tutte le equazioni di secondo grado con $a \ne 0$. In alcuni casi la scomposizione e' piu' rapida, ma la formula e' il metodo piu' sicuro quando la fattorizzazione non si vede subito.

Il termine sotto radice

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

si chiama discriminante o delta. Se lavori nei numeri reali:

• se $\Delta > 0$, ci sono due soluzioni reali distinte;
• se $\Delta = 0$, c'e' una soluzione reale doppia;
• se $\Delta < 0$, non ci sono soluzioni reali.

Quest'ultima frase vale solo nei numeri reali. Se il problema ammette numeri complessi, anche il caso $\Delta < 0$ ha soluzioni.

Esempio svolto passo per passo

Risolviamo

$$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

Leggiamo i coefficienti:

$$a = 2,\quad b = -3,\quad c = -2$$

Calcoliamo il delta:

$$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$$

Dato che $\Delta > 0$, ci aspettiamo due soluzioni reali distinte.

Ora applichiamo la formula:

$$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$$ $$x = \frac{3 \pm 5}{4}$$

Ora separiamo i due casi:

$$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2$$

e

$$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$$

Un controllo finale evita errori di segno:

$$2(2)^2 - 3(2) - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$$ $$2\left(-\frac{1}{2}\right)^2 - 3\left(-\frac{1}{2}\right) - 2 = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 2 = 0$$

Quindi le soluzioni sono $x = 2$ e $x = -\frac{1}{2}$.

Errori comuni da evitare

Leggere i coefficienti prima di portare tutto a zero

La formula risolutiva si applica alla forma $ax^2 + bx + c = 0$. Se lasci termini da entrambe le parti, e' facile sbagliare $a$, $b$ o $c$.

Sbagliare il segno di $b$

E' l'errore piu' frequente. In $2x^2 - 3x - 2 = 0$, il coefficiente e' $b = -3$, non $b = 3$.

Dimenticare il simbolo $\pm$

Se $\Delta > 0$, la formula produce due valori. Scriverne uno solo significa perdere una soluzione.

Interpretare $\Delta < 0$ senza dire il contesto

Dire "nessuna soluzione" e' corretto solo se stai lavorando nei numeri reali. Se il problema ammette numeri complessi, la conclusione cambia.

Quando si usano le equazioni di secondo grado

Le equazioni di secondo grado compaiono in algebra, nello studio della parabola e in molti problemi in cui compare una dipendenza quadratica. Per esempio, possono nascere da un'area espressa in funzione di un lato o dall'intersezione tra una parabola e una retta.

In pratica, servono quando una relazione contiene un termine al quadrato e quindi non cresce in modo lineare.

Prova un esercizio simile

Prova a risolvere

$$x^2 - 4x - 5 = 0$$

Calcola prima $\Delta$, poi applica la formula risolutiva e controlla le soluzioni sostituendole nell'equazione iniziale. Se vuoi confrontare i passaggi dopo averci provato da solo, puoi usare un risolutore di matematica.