Derivate: regole, formule ed esempio

Le regole di derivazione sono le formule che permettono di trovare la derivata senza ripartire ogni volta dalla definizione con il limite. La domanda decisiva e' semplice: la funzione e' una somma, un prodotto, un quoziente o una composizione?

Se riconosci bene la struttura, la regola giusta diventa quasi ovvia. Molti errori, invece, nascono quando si confonde un prodotto con una composizione oppure si dimentica la derivata della parte interna.

Regole di derivazione: le formule base

Se $c$ e una costante e $f$ e $g$ sono derivabili, allora:

$$\frac{d}{dx}[c] = 0$$ $$\frac{d}{dx}[x^n] = nx^{n-1}$$

La regola della potenza vale nei casi in cui l'espressione sia definita e derivabile nel punto considerato.

$$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[c f(x)] = c f'(x)$$ $$\frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Questa formula del quoziente richiede $g(x) \ne 0$.

$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Questa e' la regola della catena. Si usa quando una funzione e' dentro un'altra, per esempio $(3x-1)^4$ oppure $\sin(x^2)$.

Come scegliere la regola giusta

Prima di derivare, guarda l'operazione principale, cioe' quella che tiene insieme tutta l'espressione.

Se vedi $+$ o $-$ come struttura esterna, di solito usi la regola della somma. Se hai due fattori moltiplicati, serve la regola del prodotto. Se tutta la funzione e' una frazione, controlla il quoziente. Se una parte e' inserita dentro un'altra, serve la catena.

Per esempio, $x^2\sin(x)$ e' un prodotto. Invece $\sin(x^2)$ non e' un prodotto: e' una composizione, quindi va trattata con la regola della catena.

Esempio svolto: prodotto e catena insieme

Deriviamo

$$y = x^2(3x-1)^4$$

La struttura esterna e' un prodotto tra due fattori:

$$x^2 \quad \text{e} \quad (3x-1)^4$$

Quindi usiamo la regola del prodotto. Pero' il secondo fattore richiede anche la catena, perche' $(3x-1)^4$ ha una funzione interna.

Partiamo dalle derivate dei due fattori:

$$\frac{d}{dx}[x^2] = 2x$$

Per $(3x-1)^4$, la funzione esterna e' $u^4$ e la funzione interna e' $u = 3x-1$. Quindi:

$$\frac{d}{dx}[(3x-1)^4] = 4(3x-1)^3 \cdot 3$$ $$\frac{d}{dx}[(3x-1)^4] = 12(3x-1)^3$$

Ora applichiamo la regola del prodotto:

$$y' = 2x(3x-1)^4 + x^2 \cdot 12(3x-1)^3$$

Questa e' gia' una risposta corretta. Se vuoi semplificare, raccogli i fattori comuni:

$$y' = 2x(3x-1)^3[(3x-1) + 6x]$$ $$y' = 2x(3x-1)^3(9x-1)$$

Il punto importante non e' la forma finale, ma il motivo per cui compaiono piu' fattori: qui hai applicato insieme regola del prodotto e regola della catena.

Errori comuni con le derivate

1. Trattare un prodotto come prodotto delle derivate. In generale, $(fg)' \ne f'g'$.
2. Dimenticare la derivata interna nella catena. La derivata di $(3x-1)^4$ non e' solo $4(3x-1)^3$.
3. Usare il quoziente quando conviene prima riscrivere la funzione con esponenti negativi o semplificare.
4. Confondere prodotto e composizione. $x\sin(x)$ e' diverso da $\sin(x^2)$.
5. Perdere parentesi e segni nei binomi, soprattutto dopo la semplificazione.

Quando si usano le regole di derivazione

Le regole di derivazione servono ogni volta che vuoi descrivere come cambia una funzione in un punto o in una zona del grafico. Compaiono negli esercizi di calcolo differenziale, nello studio di funzione, nei problemi di tangente, nei massimi e minimi, nella velocita' istantanea e in molti problemi di ottimizzazione.

Non basta quindi ricordare le formule a memoria. Il passaggio che fa davvero la differenza e' riconoscere la forma della funzione prima di iniziare i conti.

Controllo rapido prima di consegnare

Se hai derivato un prodotto, di solito compaiono almeno due termini prima di raccogliere o semplificare. Se hai derivato una funzione composta, controlla di avere moltiplicato per la derivata della parte interna.

Questo controllo richiede pochi secondi e evita molti errori meccanici.

Prova un esercizio simile

Prova a derivare

$$y = (x^3+2)^5$$

Prima decidi la struttura. Non e' un prodotto e non e' una somma principale: e' una composizione, quindi la regola decisiva e' la catena.

Se vuoi andare un passo oltre, prova una tua versione cambiando l'interno o l'esponente e controlla se la logica resta la stessa. Per verificare i passaggi su un esercizio simile, puo' aiutarti anche confrontare il risultato con un risolutore, ma solo dopo aver provato da solo.