Rumus Peluang (Probabilitas)

Rumus peluang dipakai untuk menghitung seberapa besar kemungkinan suatu kejadian terjadi. Untuk soal dasar, jika ruang sampel $S$ berhingga, $n(S) > 0$, dan setiap hasil di $S$ sama mungkin, maka peluang kejadian $A$ adalah

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$

Di sini $n(A)$ adalah banyaknya hasil yang mendukung kejadian $A$, sedangkan $n(S)$ adalah banyaknya seluruh hasil dalam ruang sampel. Jika hasil-hasilnya tidak sama mungkin, rumus ini tidak boleh dipakai begitu saja.

Nilai peluang selalu berada di antara $0$ dan $1$:

$$0 \le P(A) \le 1$$

Nilai $0$ berarti kejadian mustahil. Nilai $1$ berarti kejadian pasti.

Apa Arti Rumus Peluang Dasar

Intuisi paling sederhana adalah "bagian yang diinginkan dibagi semua kemungkinan yang adil." Jika ada $8$ hasil yang mungkin dan $2$ di antaranya sesuai dengan pertanyaan, maka peluangnya adalah $2/8$.

Karena itu, bagian yang paling penting biasanya bukan menghitung pecahannya, tetapi menentukan dua hal ini dengan benar:

1. Apa saja hasil dalam ruang sampel $S$.
2. Hasil mana saja yang termasuk kejadian $A$.

Kalau salah menulis salah satu dari dua hal ini, jawabannya ikut salah meskipun hitungannya rapi.

Contoh Soal Rumus Peluang

Misalkan sebuah dadu fair bersisi $6$ dilempar sekali. Berapa peluang muncul bilangan prima?

Ruang sampelnya:

$$S = \{1,2,3,4,5,6\}$$

Kejadian "muncul bilangan prima":

$$A = \{2,3,5\}$$

Karena dadu fair, keenam hasil itu sama mungkin. Jadi rumus dasar boleh dipakai:

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$

Jadi peluang muncul bilangan prima adalah $\frac{1}{2}$ atau $50\%$.

Contoh ini menunjukkan syarat pentingnya. Jika dadu tidak fair, menghitung "banyak kejadian dibagi banyak hasil" saja tidak cukup, karena tiap sisi tidak lagi punya peluang yang sama.

Kapan Rumus $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$ Boleh Dipakai

Rumus dasar ini cocok untuk situasi diskret yang jelas dan adil, misalnya lempar koin fair, lempar dadu fair, atau memilih satu kartu secara acak dari kumpulan yang semua elemennya setara peluangnya.

Kalau hasil-hasilnya tidak sama mungkin, Anda perlu model peluang yang lain. Jadi sebelum menghitung, cek dulu apakah asumsi "sama mungkin" memang benar.

Hubungan Peluang Yang Sering Dipakai

Selain rumus dasar, ada tiga hubungan yang sering muncul di sekolah.

Peluang komplemen:

$$P(A^c) = 1 - P(A)$$

Ini berguna saat kejadian lawannya lebih mudah dihitung.

Penjumlahan peluang untuk dua kejadian:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Jika $A$ dan $B$ saling lepas, maka $P(A \cap B)=0$, sehingga rumusnya menjadi lebih sederhana:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$

Untuk kejadian independen, peluang keduanya terjadi bersama adalah

$$P(A \cap B) = P(A)P(B)$$

Kuncinya ada pada syarat. Rumus jumlah umum selalu aman, tetapi rumus perkalian sederhana hanya berlaku jika kedua kejadian independen.

Kesalahan Umum Saat Menghitung Peluang

Kesalahan paling sering adalah memakai

$$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}$$

padahal hasil-hasilnya tidak sama mungkin. Ini sering terjadi pada soal cerita yang diam-diam memberi bobot berbeda pada tiap hasil.

Kesalahan lain adalah salah menulis ruang sampel. Pada soal dua koin, jika urutan diperhitungkan, ruang sampelnya adalah $\{AA, AG, GA, GG\}$, bukan hanya "dua angka, satu campuran, dua gambar."

Banyak siswa juga menjumlahkan $P(A)$ dan $P(B)$ langsung tanpa memeriksa apakah ada irisan. Jika dua kejadian bisa terjadi bersamaan, bagian irisan akan terhitung dua kali kalau tidak dikurangkan.

Cek Cepat Sebelum Memakai Rumus Peluang

Sebelum menghitung, cek tiga hal ini:

1. Apakah ruang sampelnya sudah ditulis dengan benar?
2. Apakah semua hasil dalam ruang sampel sama mungkin?
3. Apakah kejadian yang diminta sudah didefinisikan jelas?

Kalau tiga hal ini benar, peluang dasar biasanya aman dihitung. Jika salah satu tidak jelas, berhenti sebentar dan perbaiki setup-nya dulu.

Coba Soal Serupa

Sebuah kartu diambil acak dari kartu bernomor $1$ sampai $10$. Berapa peluang terambil bilangan genap?

Tulis dulu ruang sampel dan kejadian yang diminta, lalu hitung dengan $P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$. Jika Anda ingin melanjutkan, coba versi yang sedikit berbeda: berapa peluang terambil bilangan prima dari himpunan yang sama?