Fórmulas de Probabilidad y Estadística

Las fórmulas de probabilidad y estadística sirven para dos tareas distintas: calcular qué tan probable es un evento y resumir datos que ya observaste. Si distingues esas dos tareas desde el inicio, es mucho más fácil elegir la fórmula correcta.

Si buscas una referencia rápida, estas son las fórmulas más usadas y la condición clave de cada una:

$$P(A)=\frac{\text{casos favorables}}{\text{casos posibles}}$$

Solo vale cuando todos los resultados son equiprobables.

$$P(A^c)=1-P(A)$$

La regla del complemento suele ser la forma más rápida de resolver problemas de "al menos uno".

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

La media resume el centro de un conjunto de datos.

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}$$

La varianza y la desviación estándar miden dispersión. La fórmula con $n-1$ se usa para una muestra, no para toda la población.

Qué fórmula usar primero

Empieza por esta pregunta: ¿estás describiendo posibles resultados o datos ya observados?

Si trabajas con posibles resultados, estás en probabilidad. Si además todos los resultados tienen la misma probabilidad, la razón entre casos favorables y casos posibles suele bastar. Si no, necesitas reglas como suma, producto o probabilidad condicional.

Si trabajas con datos, estás en estadística descriptiva. La media te da una idea del centro, pero casi nunca basta sola. Para saber si los datos están muy juntos o muy separados, necesitas una medida de dispersión como la desviación estándar.

Fórmulas de probabilidad que más se usan

Regla de la suma

Para calcular la probabilidad de que ocurra $A$ o $B$:

$$P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$$

La resta evita contar dos veces la parte común. Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes, entonces $P(A \cap B)=0$.

Regla del producto

Para calcular la probabilidad de que ocurran $A$ y $B$:

$$P(A \cap B)=P(A)P(B \mid A)$$

Si los eventos son independientes, entonces $P(B \mid A)=P(B)$ y la fórmula se simplifica a

$$P(A \cap B)=P(A)P(B)$$

La independencia no se debe suponer sin justificación.

Fórmulas de estadística que conviene recordar

Media

Para una muestra de $n$ datos:

$$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$$

La media funciona bien como centro cuando los datos no están demasiado sesgados por valores extremos.

Varianza y desviación estándar

Si tienes toda la población:

$$\sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2, \qquad \sigma=\sqrt{\sigma^2}$$

Si tienes una muestra:

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2, \qquad s=\sqrt{s^2}$$

La diferencia entre $N$ y $n-1$ importa. Cambiar una por otra altera el resultado.

Ejemplo resuelto: probabilidad y media con un dado

Imagina un dado justo de seis caras y dos preguntas distintas sobre él.

Primero, una pregunta de probabilidad: ¿cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que $4$?

Los resultados favorables son $\{5,6\}$, así que

$$P(X>4)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$

Aquí sí podemos usar la fórmula básica porque el dado es justo y todas las caras son equiprobables.

Ahora cambia la pregunta. Supón que en cinco lanzamientos observas los datos $2, 5, 3, 6, 2$. Eso ya no es un modelo de resultados posibles, sino una pequeña muestra de datos.

La media muestral es

$$\bar{x}=\frac{2+5+3+6+2}{5}=\frac{18}{5}=3.6$$

Ese $3.6$ resume el centro de los datos observados. La idea importante es esta: la probabilidad trabaja con lo que podría pasar; la estadística, con lo que ya pasó.

Errores comunes al aplicar estas fórmulas

Un error frecuente es usar $P(A)=\frac{\text{favorables}}{\text{totales}}$ cuando los resultados no son equiprobables. Esa fórmula no sirve igual para una ruleta sesgada, un test médico o una variable continua.

Otro error es confundir eventos mutuamente excluyentes con eventos independientes. "No pueden ocurrir a la vez" y "uno no afecta al otro" no significan lo mismo.

También es común usar la fórmula de población cuando en realidad solo se tiene una muestra. En desviación estándar, cambiar $N$ por $n-1$ no es un detalle menor.

Por último, mucha gente informa la media sin hablar de la dispersión. Dos conjuntos pueden tener la misma media y comportarse de forma muy distinta.

Cuándo se usan estas fórmulas

La probabilidad se usa para modelar incertidumbre: juegos, riesgo, pronósticos, control de calidad o pruebas diagnósticas.

La estadística se usa para resumir y comparar datos: notas de examen, tiempos de espera, ventas, encuestas o mediciones experimentales.

En problemas reales, la parte difícil no suele ser sustituir números en una fórmula. Suele ser elegir la fórmula correcta y comprobar si sus condiciones realmente se cumplen.

Prueba una versión parecida

Prueba tu propia versión con dos monedas justas. Calcula la probabilidad de obtener al menos una cara y luego toma una lista corta de datos, por ejemplo $2, 2, 3, 7, 11$, para hallar su media y su desviación estándar muestral. Si quieres seguir, explora otro caso donde cambie la condición clave, como eventos no independientes o datos con valores extremos.