Derivadas — Reglas y Ejemplos

Las derivadas muestran cómo cambia una función en un instante. También pueden leerse como la pendiente de la recta tangente en un punto de la gráfica.

Si $s(t)$ representa la posición de un objeto, entonces $s'(t)$ representa su velocidad instantánea. Esa idea de "cambio justo ahora" es la intuición central.

La definición formal parte de este límite:

$$f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

En la práctica, rara vez se deriva desde el límite cada vez. Lo habitual es reconocer la estructura de la función y aplicar reglas de derivación.

Qué es una derivada y cómo interpretarla

La derivada también sirve para leer el comportamiento local de una gráfica:

• Si $f'(x) > 0$, la función está creciendo en ese punto.
• Si $f'(x) < 0$, la función está decreciendo en ese punto.
• Si $f'(x) = 0$, puede haber un máximo local, un mínimo local o un punto plano. Hace falta más información para decidir cuál.

Reglas de derivación más usadas

Estas reglas aparecen una y otra vez en cálculo básico.

Regla de la constante

Si $f(x)=c$, entonces

$$f'(x)=0$$

Una constante no cambia, así que su tasa de cambio es cero.

Regla de la potencia

Si $n$ es una constante y $f(x)=x^n$, entonces

$$\frac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}$$

Ejemplo: $\frac{d}{dx}(x^5)=5x^4$.

Regla del factor constante

Si $c$ es constante, entonces

$$\frac{d}{dx}(c f(x))=c f'(x)$$

Ejemplo: $\frac{d}{dx}(7x^3)=7 \cdot 3x^2=21x^2$.

Regla de la suma y la resta

$$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)$$ $$\frac{d}{dx}(f(x)-g(x))=f'(x)-g'(x)$$

Esto permite derivar término a término cuando la expresión es una suma o una resta.

Regla del producto

Si una función es un producto, no basta con derivar cada factor y multiplicar. La regla correcta es

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

Regla del cociente

Si $g(x) \ne 0$, entonces

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

La condición $g(x) \ne 0$ importa porque no se puede dividir entre cero.

Regla de la cadena

Si una función está dentro de otra, se usa la regla de la cadena:

$$\frac{d}{dx}(f(g(x)))=f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Esta regla aparece en expresiones como $(2x+1)^5$, $\sin(x^2)$ o $e^{3x}$.

Ejemplo resuelto: derivar $(2x^3-5)^4$

Deriva

$$y=(2x^3-5)^4$$

Aquí hay una composición de funciones, así que la regla clave es la de la cadena.

La función exterior es $u^4$ y la interior es $u=2x^3-5$.

1. Deriva la exterior respecto de la interior:

$$\frac{d}{du}(u^4)=4u^3$$

2. Sustituye de nuevo $u=2x^3-5$:

$$4(2x^3-5)^3$$

3. Multiplica por la derivada de la interior:

$$\frac{d}{dx}(2x^3-5)=6x^2$$

Entonces

$$y'=4(2x^3-5)^3 \cdot 6x^2$$

y, simplificando,

$$y'=24x^2(2x^3-5)^3$$

La idea importante no es memorizar solo el resultado. Lo importante es detectar la estructura: una capa exterior y una capa interior.

Errores comunes al derivar

Un error frecuente es aplicar la regla de la potencia a toda la expresión sin usar la regla de la cadena. Por ejemplo, pasar de $(2x^3-5)^4$ a $4(2x^3-5)^3$ y detenerse ahí. Falta multiplicar por la derivada de la parte interior.

Otro error común es pensar que

$$(f(x)g(x))'=f'(x)g'(x)$$

Eso es falso en general. Para productos se usa la regla del producto.

También conviene tener cuidado con el cociente. El denominador se eleva al cuadrado, y la resta del numerador tiene un orden concreto:

$$f'(x)g(x)-f(x)g'(x)$$

Cambiar ese orden cambia el signo del resultado.

Cuándo se usan las derivadas

Las derivadas se usan cuando importa el cambio instantáneo, no solo el cambio promedio.

• En física, para relacionar posición, velocidad y aceleración.
• En economía, para estudiar costo marginal o ingreso marginal.
• En optimización, para buscar máximos y mínimos.
• En gráficas, para entender crecimiento, decrecimiento y pendientes.

La interpretación depende del contexto. Por ejemplo, que una derivada sea positiva significa "la función está aumentando" con respecto a la variable elegida, pero lo que eso representa en la realidad depende del problema.

Prueba con un ejercicio similar

Intenta derivar

$$(x^2+1)^5$$

y explica por qué la regla de la cadena sí hace falta. Si quieres un segundo reto, deriva

$$(x^2-3)(x+4)$$

y compara por qué ahí la regla adecuada es la del producto. Si quieres seguir, prueba tu propia versión con otra potencia compuesta y comprueba si identificas bien la función interior.