Εξισώσεις 2ου Βαθμού

Οι εξισώσεις 2ου βαθμού έχουν τη μορφή

$$ax^2 + bx + c = 0$$

με $a \ne 0$. Λέγονται έτσι επειδή η μεγαλύτερη δύναμη του $x$ είναι το $2$.

Αν ψάχνεις πώς λύνονται, κράτα αυτό: στους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να έχουν δύο λύσεις, μία διπλή λύση ή καμία πραγματική λύση. Αυτό εξαρτάται από τη διακρίνουσα

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

και, όταν δεν βολεύει η παραγοντοποίηση, οι λύσεις βρίσκονται με τον γνωστό τύπο

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Τι είναι μια εξίσωση 2ου βαθμού στην πράξη

Μια εξίσωση 2ου βαθμού ζητά τις τιμές του $x$ που κάνουν την παράσταση $ax^2 + bx + c$ ίση με μηδέν. Αν δεις τη γραφική παράσταση $y = ax^2 + bx + c$, οι λύσεις είναι τα σημεία όπου η παραβολή συναντά τον άξονα $x$.

Αυτή η εικόνα δίνει γρήγορα την ιδέα:

• αν η παραβολή κόβει τον άξονα $x$ σε δύο σημεία, υπάρχουν δύο πραγματικές λύσεις
• αν τον αγγίζει σε ένα σημείο, υπάρχει μία διπλή λύση
• αν δεν τον συναντά, δεν υπάρχουν πραγματικές λύσεις

Πώς η διακρίνουσα δείχνει τον αριθμό των λύσεων

Η διακρίνουσα είναι

$$\Delta = b^2 - 4ac$$

και δείχνει τι συμβαίνει στις πραγματικές λύσεις:

$$\Delta > 0 \Rightarrow \text{δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις}$$ $$\Delta = 0 \Rightarrow \text{μία διπλή πραγματική λύση}$$ $$\Delta < 0 \Rightarrow \text{καμία πραγματική λύση}$$

Αυτό ισχύει μόνο όταν δουλεύουμε στους πραγματικούς αριθμούς. Στους μιγαδικούς, η περίπτωση $\Delta < 0$ δίνει δύο συζυγείς μιγαδικές λύσεις.

Λυμένο παράδειγμα βήμα βήμα

Λύσε την εξίσωση

$$x^2 - 5x + 6 = 0$$

Εδώ έχουμε $a = 1$, $b = -5$, $c = 6$.

Πρώτα υπολογίζουμε τη διακρίνουσα:

$$\Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$$

Εφόσον $\Delta > 0$, περιμένουμε δύο διαφορετικές πραγματικές λύσεις. Τώρα εφαρμόζουμε τον γνωστό τύπο:

$$x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$$

Άρα

$$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \qquad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$$

Αν θέλεις γρήγορο έλεγχο, η ίδια εξίσωση παραγοντοποιείται και ως

$$(x - 2)(x - 3) = 0$$

οπότε καταλήγεις στις ίδιες λύσεις. Η παραγοντοποίηση είναι πιο σύντομη εδώ, αλλά η μέθοδος με τη διακρίνουσα δουλεύει γενικά.

Για τελικό έλεγχο, αντικαθιστάς:

$$2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$$ $$3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$$

Και οι δύο τιμές είναι σωστές λύσεις.

Πότε να χρησιμοποιήσεις γνωστό τύπο ή παραγοντοποίηση

Ο γνωστός τύπος είναι η πιο σταθερή γενική μέθοδος:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Χρησιμοποίησέ τον όταν:

• η παραγοντοποίηση δεν φαίνεται εύκολα
• θέλεις μια μέθοδο που δουλεύει συστηματικά
• χρειάζεται να ξεχωρίσεις γρήγορα πόσες πραγματικές λύσεις υπάρχουν

Η παραγοντοποίηση είναι καλή επιλογή μόνο όταν η μορφή της εξίσωσης το επιτρέπει καθαρά. Για παράδειγμα, στην εξίσωση

$$2x^2 + x - 7 = 0$$

ο γνωστός τύπος είναι συνήθως πιο φυσική επιλογή από το να ψάχνεις παράγοντες στα τυφλά.

Συχνά λάθη στις εξισώσεις 2ου βαθμού

1. Ξεχνάς ότι πρέπει να ισχύει $a \ne 0$. Αν $a = 0$, η εξίσωση δεν είναι 2ου βαθμού.
2. Διαβάζεις λάθος το $b$ ή το $c$ όταν υπάρχει αρνητικό πρόσημο. Στο $x^2 - 5x + 6 = 0$, το $b$ είναι $-5$, όχι $5$.
3. Υπολογίζεις λάθος τη διακρίνουσα. Το $b^2$ σημαίνει ολόκληρο το $b$ στο τετράγωνο.
4. Ξεχνάς να φέρεις πρώτα την εξίσωση στη μορφή $ax^2 + bx + c = 0$.
5. Νομίζεις ότι κάθε εξίσωση 2ου βαθμού παραγοντοποιείται εύκολα. Δεν συμβαίνει πάντα.

Πού χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις 2ου βαθμού

Οι εξισώσεις 2ου βαθμού εμφανίζονται πολύ συχνά στην άλγεβρα, στη γεωμετρία συντεταγμένων και στη φυσική. Τις συναντάς όταν περιγράφεις παραβολές, όταν λύνεις προβλήματα βελτιστοποίησης ή όταν ένα μέγεθος εξαρτάται τετραγωνικά από ένα άλλο.

Για παράδειγμα, σε προβλήματα κίνησης ή εμβαδού, η τελική εξίσωση οδηγεί συχνά σε μορφή 2ου βαθμού.

Γρήγορος έλεγχος πριν τελειώσεις

Αν κολλήσεις, έλεγξε αυτά τα τρία σημεία:

1. Είναι πράγματι στη μορφή $ax^2 + bx + c = 0$;
2. Έχεις αναγνωρίσει σωστά τα $a$, $b$, $c$;
3. Η μέθοδος που διάλεξες ταιριάζει στην εξίσωση ή ο γνωστός τύπος θα είναι καθαρότερος;

Δοκίμασε μια παρόμοια άσκηση

Δοκίμασε να λύσεις την εξίσωση

$$x^2 - 4x + 4 = 0$$

και πρόσεξε τι σου λέει η διακρίνουσα για τον αριθμό των λύσεων. Αν θέλεις να συνεχίσεις, δοκίμασε μετά μια εξίσωση που δεν παραγοντοποιείται εύκολα και λύσε τη με τον γνωστό τύπο.