Quadratische Gleichung — Lösungsformel & Beispiele

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung zweiten Grades. Nach dem Umformen hat sie die Form

$$ax^2 + bx + c = 0$$

mit $a \ne 0$. Du erkennst sie also daran, dass $x^2$ die höchste Potenz der Variablen ist. Eine allgemeine Methode zum Lösen ist die Lösungsformel:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Sie liefert über den reellen Zahlen genau dann reelle Lösungen, wenn der Ausdruck unter der Wurzel, also $b^2 - 4ac$, nicht negativ ist.

Quadratische Gleichung erkennen

Der schnellste Check ist der höchste Exponent. Wenn nach dem Umformen $x^2$ die höchste Potenz ist, liegt eine quadratische Gleichung vor.

Zum Beispiel ist

$$3x^2 - 7x + 2 = 0$$

quadratisch. Dagegen ist $2x + 5 = 0$ linear, weil dort nur $x$ und nicht $x^2$ vorkommt.

Wichtig ist die Normalform. Aus

$$x^2 + 4 = 5x$$

wird zum Beispiel

$$x^2 - 5x + 4 = 0$$

Erst dann kannst du $a$, $b$ und $c$ sauber ablesen.

Die Lösungsformel richtig lesen

Für eine quadratische Gleichung in der Form $ax^2 + bx + c = 0$ mit $a \ne 0$ gilt:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Die Formel ist vor allem dann praktisch, wenn sich die Gleichung nicht sofort faktorisiert. Sie funktioniert allgemein, solange die Gleichung vorher korrekt in die Form $ax^2 + bx + c = 0$ gebracht wurde.

Der Ausdruck

$$b^2 - 4ac$$

heißt Diskriminante. Er entscheidet über die Anzahl reeller Lösungen:

• Wenn $b^2 - 4ac > 0$, gibt es zwei verschiedene reelle Lösungen.
• Wenn $b^2 - 4ac = 0$, gibt es eine doppelte reelle Lösung.
• Wenn $b^2 - 4ac < 0$, gibt es keine reelle Lösung.

Beispiel: $2x^2 - 3x - 2 = 0$ lösen

Löse die Gleichung

$$2x^2 - 3x - 2 = 0$$

Sie steht schon in Normalform. Daher liest du direkt ab:

$$a = 2,\quad b = -3,\quad c = -2$$

Jetzt setzt du in die Lösungsformel ein:

$$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2)}}{2 \cdot 2}$$

Vereinfache Schritt für Schritt:

$$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{4}$$ $$x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4}$$ $$x_{1,2} = \frac{3 \pm 5}{4}$$

Jetzt rechnest du beide Fälle aus:

$$x_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$$

Also sind die Lösungen $x = 2$ und $x = -\frac{1}{2}$.

Die Probe ist kurz: Für $x = 2$ gilt $2 \cdot 2^2 - 3 \cdot 2 - 2 = 8 - 6 - 2 = 0$. Für $x = -\frac{1}{2}$ ergibt sich ebenfalls $0$. Beide Werte passen also.

Mitternachtsformel oder pq-Formel?

Beide Formeln dienen zum Lösen quadratischer Gleichungen, aber sie starten nicht von derselben Form.

Die Mitternachtsformel ist die allgemeine Lösungsformel für

$$ax^2 + bx + c = 0$$

also

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Die pq-Formel nutzt du für normierte Gleichungen der Form

$$x^2 + px + q = 0$$

Dann gilt

$$x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}$$

Die Bedingung ist wichtig: Du kannst die pq-Formel nur direkt verwenden, wenn der Faktor vor $x^2$ bereits $1$ ist oder die Gleichung vorher entsprechend normiert wurde.

Typische Fehler beim Lösen

Vorzeichen falsch ablesen

Ein sehr häufiger Fehler ist, bei $b$ oder $c$ das Vorzeichen zu verlieren. In der Gleichung $2x^2 - 3x - 2 = 0$ ist also $b = -3$ und nicht $3$.

Nicht erst in Normalform umformen

Die Lösungsformel setzt die Form $ax^2 + bx + c = 0$ voraus. Wenn auf der rechten Seite noch Terme stehen, stimmen die Koeffizienten sonst nicht.

Nur eine Lösung angeben

Das $\pm$ in der Formel bedeutet meistens zwei Fälle. Wer nur den Plus- oder nur den Minus-Fall rechnet, verliert oft eine Lösung.

Diskriminante falsch deuten

Wenn $b^2 - 4ac < 0$, gibt es über den reellen Zahlen keine Lösung. Das heißt nicht, dass die Rechnung kaputt ist, sondern nur, dass die Gleichung in $\mathbb{R}$ keine Nullstelle hat.

Wann quadratische Gleichungen vorkommen

Quadratische Gleichungen tauchen in der Algebra, bei Nullstellen quadratischer Funktionen und in vielen Anwendungsaufgaben auf. Typische Beispiele sind Flächenprobleme, Wurfparabeln oder einfache Optimierungsaufgaben.

Die Voraussetzung ist immer dieselbe: Das Modell muss tatsächlich auf einen quadratischen Zusammenhang führen. Nur dann ist eine quadratische Gleichung das passende Werkzeug.

Probiere eine ähnliche Aufgabe

Versuche jetzt deine eigene Version:

$$x^2 - 6x + 5 = 0$$

Prüfe zuerst, ob du faktorisieren kannst. Löse die Aufgabe danach trotzdem noch einmal mit der Lösungsformel und vergleiche beide Wege. So merkst du schnell, wann welche Methode am praktischsten ist.