Quadratische Funktionen

Eine quadratische Funktion ist eine Funktion der Form

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

mit $a \ne 0$. Der wichtigste Unterschied zur linearen Funktion ist das Quadrat $x^2$. Dadurch entsteht im Graphen keine Gerade, sondern eine Parabel.

Für das Verständnis reichen zuerst drei Fragen: In welche Richtung ist die Parabel geöffnet, wo liegt ihr Hoch- oder Tiefpunkt, und wo schneidet sie die Achsen. Genau diese Punkte machen quadratische Funktionen in Algebra, Geometrie und Anwendungsaufgaben so nützlich.

Woran Du Eine Quadratische Funktion Erkennst

Quadratisch bedeutet: Der höchste Exponent von $x$ ist $2$.

Zum Beispiel sind diese Funktionen quadratisch:

• $f(x) = 2x^2 - 3x + 1$
• $f(x) = -x^2 + 4$
• $f(x) = (x - 5)^2 - 2$

Diese sind nicht quadratisch:

• $f(x) = 3x + 1$ weil der höchste Exponent nur $1$ ist
• $f(x) = x^3 - 2$ weil der höchste Exponent $3$ ist
• $f(x) = 0x^2 + 2x + 1$ ist als Funktionsterm gleich $2x + 1$ und damit nicht quadratisch, weil dann effektiv $a = 0$ gilt

Was Die Koeffizienten Bedeuten

In $f(x) = ax^2 + bx + c$ hat jeder Teil eine eigene Rolle.

$a$ bestimmt die Grundform der Parabel. Wenn $a > 0$ ist, ist sie nach oben geöffnet. Wenn $a < 0$ ist, ist sie nach unten geöffnet. Ein groesserer Betrag von $a$ macht die Parabel schmaler, ein kleinerer Betrag breiter.

$c$ ist der y-Achsenabschnitt, denn $f(0) = c$.

$b$ beeinflusst die Lage der Parabel mit. Allein an $b$ kann man den Scheitelpunkt aber meist nicht direkt ablesen, solange die Funktion nicht schon in Scheitelpunktform vorliegt.

Eine Gute Intuition: Die Parabel Hat Einen Hoch- Oder Tiefpunkt

Eine lineare Funktion steigt oder faellt mit konstanter Rate. Bei einer quadratischen Funktion aendert sich diese Rate. Deshalb ist der Graph gekruemmt.

Die Parabel hat genau einen Scheitelpunkt. Dort liegt entweder das Minimum, wenn $a > 0$, oder das Maximum, wenn $a < 0$. Dieser Punkt ist oft das Wichtigste an der ganzen Funktion.

Durchgerechnetes Beispiel: $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Diese Funktion ist quadratisch, weil der hoechste Exponent von $x$ gleich $2$ ist und der Koeffizient vor $x^2$ gleich $1$ und damit nicht $0$ ist.

Zuerst bestimmen wir einige gut lesbare Eigenschaften.

Der y-Achsenabschnitt ist

$$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 3$$

also liegt der Punkt $(0, 3)$ auf dem Graphen.

Um die Nullstellen zu finden, faktorisieren wir:

$$x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3)$$

Daraus folgen die Nullstellen

$$x = 1 \quad \text{und} \quad x = 3$$

Jetzt ist die Form der Parabel schon gut sichtbar: Sie ist nach oben geoeffnet, schneidet die x-Achse bei $1$ und $3$ und die y-Achse bei $3$.

In diesem Beispiel liegt der Scheitelpunkt genau zwischen den beiden Nullstellen, also bei $x = 2$. Setzen wir das ein:

$$f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$$

Der Scheitelpunkt ist also

$$(2, -1)$$

Das ist der tiefste Punkt der Parabel. Von dort aus steigt der Graph nach links und rechts wieder an.

Zwei Darstellungen, Die Oft Helfen

Die Normalform ist

$$f(x) = ax^2 + bx + c$$

Sie ist gut, wenn du den y-Achsenabschnitt direkt sehen willst.

Die Scheitelpunktform ist

$$f(x) = a(x - h)^2 + k$$

Hier kann man den Scheitelpunkt $(h, k)$ direkt ablesen. Das ist besonders praktisch, wenn du das Minimum oder Maximum schnell erkennen willst.

Zum Beispiel kann man

$$x^2 - 4x + 3$$

auch schreiben als

$$(x - 2)^2 - 1$$

Dann sieht man den Scheitelpunkt $(2, -1)$ sofort.

Hauefige Fehler

Ein haeufiger Fehler ist, jede Funktion mit einem $x$ fuer quadratisch zu halten. Entscheidend ist nicht, ob $x$ vorkommt, sondern ob der hoechste Exponent genau $2$ ist und $a \ne 0$ gilt.

Ein weiterer Fehler ist, die Richtung der Parabel falsch zu lesen. Nur das Vorzeichen von $a$ entscheidet ueber oben oder unten, nicht das Vorzeichen von $b$ oder $c$.

Oft wird auch der Scheitelpunkt ungenau bestimmt. Bei einer Funktion in Normalform sollte man ihn nicht raten. Entweder formt man in die Scheitelpunktform um oder nutzt eine zuverlaessige Methode, zum Beispiel die Symmetrie der Nullstellen in einem passenden Beispiel.

Wann Quadratische Funktionen Verwendet Werden

Quadratische Funktionen tauchen auf, wenn eine Groesse nicht linear, sondern gekruemmt verlaeuft. In der Schulmathematik beschreiben sie Parabeln, Flaechenmodelle und Optimierungsprobleme.

In Anwendungen erscheinen sie zum Beispiel bei Wurfbahnen in einfachen Modellen oder wenn ein Gewinn oder eine Flaeche von einer veraenderlichen Groesse abhaengt. Das Modell passt aber nur dann gut, wenn der Zusammenhang tatsaechlich quadratisch beschrieben werden kann.

Praktischer Naechster Schritt

Versuche deine eigene Version mit $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. Pruefe zuerst die Oeffnung der Parabel, finde dann die Achsenschnittpunkte und bestimme danach den Scheitelpunkt. Wenn du einen naechsten Schritt willst, vergleiche dieselbe Funktion einmal in Normalform und einmal in Scheitelpunktform.