Integralrechnung - Stammfunktion, Regeln & Beispiele

Integralrechnung bedeutet vor allem zwei Dinge: Du suchst eine Stammfunktion oder du berechnest mit einem bestimmten Integral eine gesamte Aenderung auf einem Intervall. Genau das steckt hinter Suchanfragen wie "Was ist eine Stammfunktion?" oder "Wie berechnet man ein bestimmtes Integral?"

Die kurze Intuition: Ableiten beschreibt lokale Aenderung, Integrieren sammelt diese Aenderung wieder zu einer Gesamtgroesse.

Stammfunktion und bestimmtes Integral kurz erklaert

Beim unbestimmten Integral suchst du eine Stammfunktion:

$$\int f(x)\,dx = F(x) + C$$

Dabei gilt $F'(x) = f(x)$. Die Konstante $C$ ist noetig, weil beim Ableiten jede Konstante verschwindet.

Beim bestimmten Integral

$$\int_a^b f(x)\,dx$$

geht es um die Nettoaenderung auf dem Intervall $[a,b]$. Geometrisch ist das die vorzeichenbehaftete Flaeche zwischen Graph und $x$-Achse. Nur wenn $f(x) \ge 0$ auf dem ganzen Intervall gilt, darfst du das Ergebnis direkt als gewoehnliche Flaeche unter dem Graphen lesen.

Welche Integralregeln du zuerst pruefen solltest

Fuer Konstanten $a$ und $b$ gilt:

$$\int \left(a f(x) + b g(x)\right)\,dx = a \int f(x)\,dx + b \int g(x)\,dx$$

Diese Regel ist oft der beste Start, weil sie ein groesseres Integral in einfache Teile zerlegt.

Fuer $n \ne -1$ gilt die Potenzregel:

$$\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$$

Die wichtige Ausnahme ist

$$\int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C$$

Ein paar Standardformen solltest du direkt erkennen:

$$\int e^x\,dx = e^x + C$$ $$\int \cos x\,dx = \sin x + C$$ $$\int \sin x\,dx = -\cos x + C$$

Warum Integral und Ableitung zusammenhaengen

Wenn $f(x)$ eine Aenderungsrate beschreibt, dann summiert das Integral diese kleinen Aenderungen auf. Ein typisches Beispiel ist Geschwindigkeit: Das Integral der Geschwindigkeit ueber die Zeit liefert die Aenderung des Ortes.

Genau deshalb haengen Ableitung und Integral so eng zusammen. Das Integral macht aus "wie schnell aendert sich etwas?" wieder "wie viel hat sich insgesamt geaendert?"

Bestimmtes Integral Beispiel Schritt fuer Schritt

Berechne

$$\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx$$

Zuerst bilden wir eine Stammfunktion. Wegen der Summenregel koennen wir beide Terme getrennt integrieren:

$$\int (3x^2 + 1)\,dx = x^3 + x + C$$

Eine passende Stammfunktion ist also

$$F(x) = x^3 + x$$

Jetzt setzen wir die Grenzen ein:

$$\int_0^2 (3x^2 + 1)\,dx = F(2) - F(0)$$ $$= (2^3 + 2) - (0^3 + 0) = 10$$

Das Ergebnis ist $10$. Hier darfst du es sowohl als Nettoaenderung als auch als Flaeche lesen, weil $3x^2 + 1$ auf dem ganzen Intervall $[0,2]$ positiv ist.

Haeufige Fehler in der Integralrechnung

Das $+C$ vergessen

Beim unbestimmten Integral gehoert die Integrationskonstante dazu. Beim bestimmten Integral taucht sie im Endergebnis nicht auf, weil sie sich beim Auswerten weghebt.

Die Potenzregel falsch auf $\frac{1}{x}$ anwenden

Der Fall $n = -1$ ist genau die Ausnahme. Dort ist die Stammfunktion nicht $\frac{x^0}{0}$, sondern $\ln|x| + C$.

Ein bestimmtes Integral immer als Flaeche lesen

Wenn der Graph teilweise unter der $x$-Achse liegt, zaehlt das Integral positive und negative Beitraege zusammen. Dann bekommst du zuerst eine Nettoaenderung, nicht automatisch die gesamte Flaeche.

Produkte zu einfach behandeln

Im Allgemeinen gilt nicht

$$\int f(x)g(x)\,dx \ne \left(\int f(x)\,dx\right)\left(\int g(x)\,dx\right)$$

Bei Produkten oder verketteten Funktionen brauchst du oft weitere Methoden wie Substitution oder partielle Integration.

Wann man Integrale verwendet

Integralrechnung wird immer dann benutzt, wenn aus einer lokalen Beschreibung eine Gesamtgroesse werden soll.

• In der Geometrie fuer Flaechen und Volumina.
• In der Physik, wenn aus einer Dichte, Leistung oder Geschwindigkeit eine gesamte Menge bestimmt wird.
• In angewandten Modellen, wenn sich eine Groesse staendig aendert und die Summe dieser Aenderung interessiert.

Die Deutung haengt immer von der Situation ab. Ein Integral ist nicht von selbst "Weg", "Flaeche" oder "Masse". Das folgt erst daraus, was die Funktion beschreibt und auf welchem Intervall du integrierst.

Eigene Aufgabe zum Ueben

Versuche als naechstes

$$\int_1^3 (2x + 4)\,dx$$

und pruefe danach durch Ableiten, ob deine Stammfunktion wieder $2x + 4$ ergibt. Wenn du danach eine aehnliche Aufgabe rechnest, wiederhole immer dieselbe Reihenfolge: Integraltyp erkennen, Stammfunktion bilden, dann Grenzen einsetzen.